求解不等式约束非凸二次规划问题的ADMM方法

摘要

求解凸优化问题的交替方向方法（Alternating direction method of multipliers简称ADMM）已得到广泛研究。但是对于目标函数是非凸的情况,仍缺乏研究。这篇论文借助稳定性条件，矩阵分裂和迭代理论，采用交替方向方法求解带不等式约束的非凸的二次规划问题，并利用压缩映射原理最终证明该交替方向方法的收敛性。具体内容可概括如下:
　　在第二章，介绍鞍点问题模型及其数值解法的相关知识，范数的相关结论以及增广Lagrange技巧。并介绍一般的交替方向方法的思想及算法的迭代格式。
　　在第三章，利用矩阵分裂技巧及Gauss-Seidel迭代思想构造求解线性系统的迭代算法。并给出求解非凸二次规划问题的交替方向方法的迭代格式，以及等价的矩阵格式，为进一步证明算法的收敛性做准备。
　　在第四章，我们利用谱半径和矩阵谱范数的相关结论，对第三章构造的交替方向方法进行讨论，利用压缩映射原理，证明迭代序列有且仅有一个极限点且是该问题稳定性条件的解，从而证明了该交替方向方法的收敛性。
　　在第五章，根据第三章给出的算法迭代格式，和问题的稳定性条件，我们分析每一步迭代的误差，进而结合相对误差和绝对误差给出该算法的停止准则。最后举出实际例子，求解并列出数值试验结果。

目录

声明

1 绪论

1.1 研究的背景和意义

1.2 本文研究的问题

1.3 本文的主要内容

2 预备知识

2.1 鞍点问题数值解法的相关知识

2.2 范数的相关知识

2.3 增广Lagrange方法和交替方向方法的相关知识

2.4 变分分析的相关知识

3 求解非凸二次规划问题的交替方向方法

3.1 矩阵分裂技巧构造迭代法

3.2 交替方向方法

4 交替方向方法的收敛性

4.1 迭代矩阵的谱半径

4.2 压缩映射原理

4.3 交替方向方法的收敛性

5 算法停止准则和数值结果

结论

参考文献

附录A 符号说明

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢