Eigenvalues of Core Operator on Homogeneous Submodules

摘要

双圆盘上的哈代空间H2(D2)可以看成为多项式代数C[z，w]的一个模.其模作用为一般的函数乘法.在经典哈代空间H2(D)（C[z]的模）内，Beurling定理表明移位算子的每个不变子空间S都对应于一个内函数θ(z)使得S=θ(z)H2(D）.可是Beurling定理无法直接推广到H2(D2)，而且用函数论的方法刻画H2(D2)内的子模是几乎不可能的.因为这些子模的结构非常复杂，所以需要更为深入的研究.
　　在近二十年，一个利用算子理论的研究途径显得富有成效.这个途径的一个核心是“核算子”.它是定义于双圆盘上的哈代空间H2(D2)内子模上的一个有界的自伴算子，且为子模提供了一些有趣的数值不变量.对于一般的子模，这些不变量是难以计算或估计的。在本论文里我们将利用Toeplitz行列式计算出齐次子模的这些不变量.
　　第一章，介绍双圆盘上哈代空间H2(D2)的一些基本概念和背景，并简要回顾其子模刻画的科研进展.
　　第二章，介绍H2(D2)内子模的几个重要例子.这些例子将更清楚地展示H2(D2)内子模结构的复杂性.
　　第三章，定义算子对（Rz，Rw），(Sz，Sw)及边缘算子，并对核算子及相关的数值不变量做简要说明.这里将叙述一系列已知结果.这些结果对理解本论文的思路很重要，其中一些将被用于第四章.
　　第四章，包含了论文的主要部分，并将证明一些新的结果:
　　章节4.1，利用Toeplitz行列式分别计算出齐次子模M=[p]的亏格空间M(Θ)zM和M(Θ)wM的一组正交基，并在此基础上计算子模M=[p]的数值不变量∑0和∑1.
　　章节4.2，计算齐次子模M=[p]的核算子的所有特征值.
　　章节4.3，给出关于子模M=[p]的核算子的第二大特征值的两个公式.其中一个是基于一个特殊的Toeplitz行列式，另一个则是完全基于多项式p的系数.
　　章节4.4，对相关的Toeplitz行列式做进一步研究，并指出这些行列式和单变量复多项式p(z，1)的Mahler测度之间的关系.这里M=[p].

目录

声明

Abstract

摘要

CONTENTS

Table of Major Symbols

1 Introduction

1．2 Current Status Of Research

1．3 Main Contents

2 Submodules of Hardy Space on bidisk

3 Operators on Submodules of H2 (D2)

3．1 Operator pairs(Rz，Rw)and(Sz，Sw)and their cross commutators

3．2 Fringe Operator

3．3 Core Operator and a classification of Submodules

3．3．1 Core Operator

3．3．2 Numerical Invariants

3．3．3 A classification of Submodules

4 Eigenvalues of core operator on homogeneous submodules

4．1 Orthonormal bases for defect space

4．2 Ejgenvalues of C

4．3 The second largest eigenvalue of C

4．4 Matrix An and Toeplitz determinant

5 The Summarry and Prospect

References

Publications during PhD Period

Acknowledgement

Curriculum Vitae