微分方程系数重构的反问题及其在曲线曲面表示中的应用

摘要

现如今，反问题的研究已经渗透到数学、物理、工程等各个领域.由于反问题在应用中的重要性，其理论在过去几十年中得到了广泛的发展.微分方程中的系数项通常与被建模的系统的物理属性相关.在简单的情况下，这些物理属性可以直接从实验所获得的数据中识别出来.在复杂情况下，难以或不可能直接测量与模型方程中系数相关的物理属性，只能通过间接测量与解相关的数据或附加信息来确定微分方程中的系数，这种问题称为微分方程系数重构问题.
　　本文主要研究了微分方程系数重构问题中的两类问题:
　　第一类是将曲线或曲面视为待定系数的微分方程的解，通过离散数据点重构满足要求的微分方程的系数.曲线曲面造型和设计中的传统方法可以构造出光滑且高精度的曲线和曲面.但是，在许多应用中，曲线和曲面不仅需要满足几何设计的要求，而且还需要满足一些与切矢条件相关的物理特性.为了达到此要求，本文选择基于离散数据点或离散数据点及切矢来重构一阶线性微分方程，进而用该方程的解去表示曲线或曲面.
　　第二类是基于附加条件的抛物型微分方程系数重构问题.抛物型微分方程系数重构问题已成为近年来国内外的研究热点领域之一.虽然在这方面已有很多研究成果，但在理论及数值算法上还有许多问题需要深入研究.特别对抛物型微分方程中多个系数重构问题的研究尚不充分.本文考虑了两个同时确定抛物型微分方程中两个系数的问题.
　　本文主要工作如下:
　　1.基于离散数据点或离散数据点及切矢信息重构一阶微分方程，使得该微分方程的解曲线或曲面能够拟合这些数据点或数据点及切矢.为了便于曲线或曲面表示，需要考虑具有显式解的微分方程.
　　(1)第二章讨论了基于给定离散数据点重构一阶线性常系数微分方程的反问题.在曲线或曲面拟合和逼近中，若数据点对应的参数选择不当会造成拟合或逼近精度较差，为了避免曲线拟合和逼近中的参数化所引起的这类问题，提出了基于给定离散数据点的法向量重构微分方程系数矩阵的模型和相应的算法，并对算法进行了理论分析:已知解曲线上若干精确的数据点，当这些数据点组成的集合“不退化”时，由本章的算法重构的微分方程的系数矩阵是唯一的.进一步，讨论了用本章的算法重构的系数矩阵与精确的系数矩阵之间的误差的界.数值算例验证了该算法的有效性.
　　(2)第三章为适应于一般曲线或曲面的离散数据点及切矢，提出了基于齐次变系数微分方程重构曲线或曲面的方法.首先，考虑了具有特定形式的微分方程，使其具有显式解的表达式，并满足解曲线或曲面的末端插值条件.本文提出了基于可对角化微分方程拟合曲线或曲面的方法，并给出了相应的算法，该算法重构的曲线曲面能够满足末端插值条件.进一步，对于同时包含解曲线或曲面的离散数据点及切矢的情况，提出了基于齐次变系数微分方程的拟合模型.数值实验结果验证了本章算法及模型的有效性.
　　(3)第四章依据非齐次微分方程与解曲线曲面的指数表示之间的关系，提出了基于离散数据点重构非齐次微分方程的算法，该算法重构的曲线或曲面满足末端插值条件，并通过数值实验验证了本章算法的有效性.
　　2.基于附加条件的抛物型微分方程系数重构问题的研究
　　(1)第五章考虑了带热流条件和定点条件的抛物型微分方程中仅依赖时间变量的两个系数的重构问题，建立了该问题解的存在唯一性条件.同时还提出了一种通过变换用差分法和优化方法求解该问题的数值方法.数值算例显示了本文提出的方法具有很好的逼近精度且对含噪数据具有一定的鲁棒性.
　　(2)第六章考虑了带Dirichlet边界条件和积分条件的抛物型微分方程中仅依赖时间变量的两个系数的重构问题，建立了该问题解的存在性和唯一性条件.同时还提出了一种用优化方法和差分法迭代求解该问题的数值方法.在该数值方法中，用B样条函数来逼近未知系数，并提出了一种可以自适应地同时选择待优化目标函数中两个B样条函数的节点的方法.数值算例显示了本文提出的方法具有很好的逼近精度且对含噪数据具有较强的鲁棒性.

目录

声明

摘要

主要符号表

1绪论

1．1微分方程系数重构与曲线曲面表示

1．2基于附加条件的抛物型微分方程的系数重构

1．3本文主要研究思路与内容

2基于离散数据点的线性常微分方程的重构问题

2．1齐次线性常微分方程的重构

2．2算法分析

2．2．1矩阵A的分析

2．2．2微分方程的解X(t)的误差分析

2．3数值实例

2．4本章小结

3基于齐次线性微分方程的曲线曲面拟合模型

3．1基于齐次常系数线性微分方程的流线拟合模型

3．2基于齐次变系数线性微分方程的流线拟合模型

3．2．1基于齐次变系数可对角化微分方程的流线拟合模型

3．2．2基于离散数据点及切矢的变系数微分方程解曲线拟合模型

3．3基于齐次变系数偏微分方程的曲面拟合模型

3．3．1基于齐次变系数可对角化的偏微分方程的曲面拟合模型

3．3．2基于离散数据点及切矢的齐次变系数偏微分方程解曲面拟合模型

3．4本章小结

4基于非齐次微分方程的曲线曲面拟合模型

4．1曲线(曲面)的指数表示与常微分方程(偏微分方程)之间的关系

4．1．2曲面X(s，t)=eAtX0(s，t)和偏微分方程之间的关系

4．2基于非齐次微分方程的曲线拟合

4．2．1当矩阵A给定时的曲线拟合问题

4．2．2当矩阵A未知时的曲线拟合

4．3基于非齐次偏微分方程的曲面拟合

4．4本章小结

5带热流条件和定点条件的抛物型微分方程系数重构问题的研究

5．1解的存在唯一性

5．2数值方法

5．3数值实例

5．4本章小结

6带Dirichlet条件和积分条件的抛物型微分方程系数重构问题的研究

6．1解的存在唯一性

6．1．1解的存在性

6．1．2解的唯一性

6．2数值方法

6．2．1 B样条节点的选取

6．3数值实例

6．4本章小结

7结论与展望

7．1结论

7．2创新点

7．3展望

参考文献

攻读博士学位期间科研项目及科研成果

致谢

作者简介