关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨——“曲面曲线的基本公式及其系数的几何意义”的教学设计

摘要

大多数微分几何教材在介绍曲面论的内容时,给出法曲率、测地曲率、曲率线、渐近线、测地线和测地挠率之后才出现曲面曲线的基本公式。本文在曲面曲线特有的基本三棱形的框架下,首先推导出曲面曲线的基本公式,并利用基本公式中的系数定义法曲率、测地曲率、测地挠率、曲率线、渐近线和测地线,进而讨论法曲率、测地曲率和测地挠率的几何意义及其相似之处和不同之处。这样处理后,教学内容紧紧围绕曲面曲线的基本公式而展开,不仅体现了内容的系统性,而且体现了基本公式中系数的优越性和系数所包含的几何意义。