一类抛物型分布参数系统的Backstepping控制器设计与仿真研究

摘要

本文研究了一类典型的抛物型偏微分方程(PDE)描述的分布参数系统的镇定问题。从偏微分方程的结构出发，结合带积分器的Backstcpping设计思想，以不稳定热方程为被控对象，设计了一种新型的Backstcpping边界状态反馈控制器。 这种新型的Backstcpping控制器包含一个积分算子，称为变换核函数。该变换核函数满足一个Klein-Gordon双曲型偏微分方程。将核Klein-Gordon双曲型偏微分方程转换为等价的积分方程，然后利用迭代级数法，证明了该核函数方程的良定性，并在一定条件下求得了核函数的解析解，进而得到闭环系统的封闭的控制器。与现有的边界控制算法计算过程复杂，所用数学知识生涩的现状相比，这种新型的控制器在设计时，无需求解算子Riccati方程，只需解一个Klein-Gordon双曲型偏微分方程，不涉及高深的数学理论，并大大减少了计算量。这是这种新方法的新颖之处。对具有不同形式系数的抛物型系统，构建了Backstepping边界状态反馈控制器，结合Lyapunove稳定性理论，证明了被控系统的稳定性。 这种新的控制器设计方法不仅解决了抛物型系统的镇定问题，在许多情况下，还得到了闭环系统方程的解析解，为偏微分方程解析解的求解提供了新的思路。这是这种新方法的另一个创新之处。给出了一类抛物型偏微分方程的解析解，并给出了其与差分数值解法所得到的解的比较，比较曲线表明了这种新解法的正确性。 本文对这种算法进行了全面的推导和证明。以细杆热传导系统为仿真对象，建立了该系统的模型一不稳定热方程。针对着这个模型，设计了Backstepping边界状态反馈控制器。求得了连续的封闭的控制器，闭环系统状态的解析解。最后给出了控制器仿真曲线，从仿真结果看出，控制器效果理想，达到了系统镇定的目的。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章绪论

1.1分布参数系统控制概述

1.2分布参数系统控制发展概况

1.3偏微分方程的求解方法综述

1.4课题的提出

1.5本文的研究内容

第2章抛物型系统的数学模型及Backstepping控制器设计原理

2.1抛物型系统数学模型

2.2抛物型系统模型的简化

2.3 Backstepping边界状态反馈控制器设计原理

2.3.1带积分器的Backstpping控制器基本原理

2.3.2抛物型分布参数系统Backstepping控制器设计思想

第3章定常系数抛物型系统Backstepping边界状态反馈控制器设计

3.1定常系数抛物型系统变换核函数的表达形式

3.2变换核函数分析

3.2.1变换核函数的存在性

3.2.2变换核函数的唯一性

3.2.3变换核函数的逆

3.3常系数系统的Lyapunove稳定性

第4章非定常系数抛物型系统Backstepping边界状态反馈控制器设计

4.1非定常系数抛物型系统的变换核函数

4.1.1非定常系数抛物型系统的变换核函数PDE表达形式

4.1.2非定常系数抛物型系统的变换核函数PDE的形式转化

4.2非定常系数抛物型系统Lyapunove稳定性分析

4.2.1 Lyapunove稳定性研究

4.2.2庞加莱(Poincare)不等式证明

第5章变换核函数解的研究

5.1变换核函数的解析解

5.2贝塞尔函数

5.3关于非定常系数的讨论

第6章抛物型闭环系统的状态解析解研究及仿真示例

6.1引言

6.2分离变量法求解简单抛物型PDE的非零解析解

6.3本征值与本征函数

6.4抛物型PDE解析解示例

第7章不稳定热方程Backstepping边界状态反馈控制器设计仿真研究

7.1仿真系统建模

7.2不稳定热方程的Backstepping边界状态反馈控制器设计及仿真

7.2.1变换核函数的表达形式

7.2.2变换核函数的逆

7.2.3闭环系统状态的解析解

7.2.4 Backstepping边界状态反馈控制器设计及仿真

结 论

参考文献

攻读学位期间公开发表论文

致 谢

研究生履历