对称广义特征值问题的数值求解算法的研究

摘要

广义特征值问题在科学计算与工程应用领域有着广泛的应用,例如,结构动态分析、结构振动、电子结构计算、量子化学、电路网络、化学反应、宏观经济平衡等。这类问题所涉及的矩阵往往是大型稀疏矩阵,并且通常只需要求出少数几个特征值及其对应的特征向量。因此,如QZ等传统算法不再有效。由于求大型稀疏矩阵的逆非常困难,常用的shift-and-invert Lanczos算法因而也不能再用。
　　 考虑到这些困难,Golub和Ye提出了求解对称广义特征值问题的不含逆的Krylov子空间方法[27]。它不再依靠shift-and-invert技巧来加速收敛,而是应用了预条件技术。这种算法只用于求解外部多重或者一簇特征值及其对应的特征向量。
　　 本文主要研究求解大规模广义特征值的快速算法。首先,给出了精化形式的不含逆的Krylov子空间方法,避免了应用预条件来加速收敛的冗余。其次,结合谱变换技术,求解该问题的内部特征值及其对应特征向量,给出了精化的不含逆的Krylov子空间算法,同时给出了收敛性的理论分析。为了同时计算出p个特征值及其对应的特征向量,我们把该方法发展成块的形式,利用B正交技术,给出了其收敛性分析和残量估计。结合具体的数值实验,验证了所提出的算法的有效性。最后,总结了前面所给出的求解对称广义特征值问题的快速算法。本文共分四章,组织如下:
　　 第一章：介绍了求解广义特征值问题的Krylov子空间方法的研究背景、研究现状及相关预备知识,同时介绍了本文的主要研究内容。
　　 第二章：提出了精化形式的不含逆的Krylov子空间算法求解对称广义特征值问题,分析了该方法的收敛误差界。给出数值实验,验证了该算法比预条件的不含逆的Krylov子空间算法的更有效。
　　 第三章：设计了块形式的精化的不含逆的Krylov子空间算法,利用B正交技术,建立了收敛性分析和残量估计。同时给出了数值实验,验证了算法的有效性。
　　 第四章：对本文的工作进行了总结,并展望了今后需要进一步研究的内容。