Uq(sl2)在Cq[x+-1,y]上的模代数结构

摘要

量子群理论是自上世纪八十年代中期发展起来的代数分支，是代数学中非常重要的研究内容。近二十年以来，其理论被人们广泛的讨论并且取得了巨大的发展。本硕士论文主要研究当q不是单位根时，量子包络代数Uq(sl2)在量子多项式代数Cq[x±1，y]上的模代数结构的分类以及所对应的模代数的不变子代数，其中量子包络代数Uq(sl2)是由k，k-1，e，f生成的C-结合代数，且生成元满足下列关系：
　　 kk-1，k-1k=1，
　　 ke=q2ek，kf=q-2fk，
　　 ef-fe=k-k-1/q-q-1。Cq[x±1，y]是由x，x-1，y生成的量子多项式代数且生成元之间满足关系式：
　　 yx=qxy，xx-1=x-1x=1。
　　 具体地，在第一部分，主要介绍了量子包络代数Uq(sl2)的研究背景，及其前人在研究量子包络代数Uq(sl2)在量子多项式代数上模代数结构的相关结论。并进一步引出本论文的研究对象：量子包络代数Up(sl2)在量子多项式代数Cq[x±1，y]上的模代数结构。
　　 在第二部分，罗列了量子包络代数Uq(sl2)和量子多项式代数Cq[x±1，y]的一些主要结果：
　　 ·量子包络代数Up(sl2)具有的Hopf-代数结构(引理2.2.1)；
　　 ·量子多项式代数Cq[x±1，y]的生成元之间满足的一个重要的关系式(引理2.2.2)；
　　 ·量子多项式代数Cq[x±1，y]的自同构的分类(引理2.2.3)，即Cq[x±1，y]的任一自同构ψ具有以下形式：ψ(x)=αx，ψ(y)=βxny，其中α，β∈C*，n∈Z。
　　 在第三部分，主要讨论了k作用具有形式：k·x=αx，k·y=βxny，其中α，β∈C*，n∈Z，n≠0时，量子包络代数Uq(sl2)在量子多项式代数Cq[x±1，y]上的模代数结构的分类，主要结论有：
　　 定理3.1设Cq[x±1，y]是Uq(sl2)的模代数且k的作用具有形式：k·x=αx，k·y=βxny，其中α，β∈C*，n∈Z，n≠0.则模代数结构由参数α，β，n，α确定，具体作用形式为：
　　 e·x=αxm+1，e·y=cxm+ny+dxmy，
　　 f·x=bx-m+1，f·y=hx-my+gx-m-ny。其中α，b∈C*，c，d，h，g∈C，且系数满足以下关系：
　　 当两组不同的参数(α，β，n，α)和(α’，β’，n’，α’)满足关系式：α=α’，n=n’时，则这两组参数对应的模代数是同构的。
　　 在第四部分，主要讨论了k的作用具有形式：k·x=αx，k·y=βy，α，β∈C*时，量子多项式代数Cq[x±1，y]成为量子包络代数Uq(sl2)上的模代数结构的六种类型。
　　 在第五部分，主要讨论了在第三部分和第四部分给出的量子包络代数Uq(sl2)在量子多项式代数Cq[x±1，y]上的模代数结构所对应的不变子代数。