增长区域上具扩散的Logistic方程解的渐近性

摘要

生物数学已经成为现代应用数学研究的热点之一。别地，数学在生态学中的作用日益重要。对于生态学中产生的许多有趣的问题，数学可以通过提供模型和方法来进行解释，反过来再由生态学去检验数学模型的合理性。数学生态学的作用是要开发生态和数学两者之间的自然关系，帮助我们对所观察到的生态现象作出科学的解释以及作出预测。
　　 目前人们已经建立了大量的生态数学模型，其中的许多模型可以用非线性抛物和椭圆型偏微分方程来描述。扩散的Logistic方程就是其中一个经典的标量反应扩散模型，它也是生态学中更为复杂的多种群模型的核心组成部分。人们对它及其推广形式已做了深入地研究，取得了相当多的结果。需要指出的是，这些研究所考虑的空间区域是不变的。我们的问题是，当空间区域随时间增长时，方程解的性质会发生怎样的变化?最近，区域增长已经成为了数学和生物学的一个有趣的话题，它来源于人们在研究Turing模式时，考虑到了生物体或组织生长对模式生成和选择的影响。本文中我们尝试着将增长区域运用到种群生态学中，考虑增长区域上扩散的Logistic方程解的渐近性态。
　　 第一章，我们简要地介绍与本文所研究的问题有关的背景知识和研究工作的发展概况。
　　 第二章，我们总结了固定区域上扩散的Logistic方程在Dirichlet边界条件下的几个经典结论，并给出了证明。
　　 第三章，我们首先建立了n维欧氏空间中的一个增长区域上的反应扩散方程，然后在假定区域的增长为各向同性的前提下，给出了一维增长区域上的扩散的Logistic方程。事实上，在这种情形下我们已经把它转换为固定区域上的新的反应扩散方程了。
　　 第四章，研究在Dirichlet边界条件下增长区域上扩散的Logistic方程解的渐近性。我们考虑了两种区域增长的情形，即Logistic型增长和无限增长。在区域具Logistic型增长情形，我们先给出新的方程上下解的定义和比较原理，然后利用上下解方法和已有的经典的结论得出该方程解的全局渐近性态。结果表明，区域的增长对方程正稳态解的渐近稳定起到一个好的作用，而对平凡解的渐近稳定性有不利的影响。在区域无限增长情形，我们运用同样的方法讨论了新的方程解的全局渐近性态。结果表明，当区域无限增长，但增长得较慢时，种群将扩展到整个区域，并将稳定在一个正常数状态；如果区域增长得较快，那么种群终将绝灭。
　　 第五章，我们利用Matlab分别对两种区域增长情形进行了数值模拟，以此来验证已得到的理论上的结果。
　　 第六章，我们总结了全文的工作，并对今后的研究工作做进一步的思考。