An型量子群在量子多项式代数上的模代数分类

摘要

量子多项式代数最早是由McConnel和Pettit在文献[1]中作为Weyl代数的乘法相类似引入的，它们是一类非常重要的非交换代数，是研究非交换代数几何的基础.过去近三十年来，量子群的研究一直倍受关注.量子群理论不但与数学许多领域都有着紧密的联系，而且直接推动了物理学一些研究方向的发展.量子多项式代数与量子群的关系十分密切，它也是研究量子群的重要工具，它的研究不仅极大地推动了量子群自身理论的发展，而且为代数表示论增添了新的研究内容.量子多项式代数还在理论物理和低维拓扑等领域也有重要应用.特别是近年来，量子多项式代数受到人们越来越多的关注和研究，并且取得了很多丰硕的研究成果.如Artamonov等在文献[2,3，4，5,6,7,8，9，10]中关于量子多项式代数方面做了一系列研究工作，他们研究了诸多量子多项式代数的性质以及将量子多项式代数作为量子群的表示的相关理论.量子平面作为结构最简单的量子多项式代数，应用更加广泛.Kassel首先在文献[11]中给出了量子群Uq(sl2)在量子平面Cq[x，y]上的一种模代数结构.Duplij和Sinel'shchikov在[12]中完全刻画了量子群Uq(sl2)在量子平面Cq[x，y]上的模代数结构，并且将所有模代数进行了同构分类。量子平面上的模代数结构的完全分类将会为更加复杂的量子代数提供研究背景.同时，模代数的分类与量子群上的张量范畴的模范畴也有着紧密的联系，如Etingof和Ostrik等做了很多这方面的研究工作，参见文献[13，14，15]等等.最近，张倩等[16]研究了在(F)q[x±1，y]非环面自同构的情形下，量子群Uq(sl2)在(F)q[x±1，y]上的模代数结构的完全分类。
　　 Duplij和Sinel'shchikov在文章[12]中提出了如下问题:讨论量子群Uq(sln+1)在量子平面上的模代数分类问题，或者对更一般的量子代数进行模代数分类研究或许更加有趣.本博士论文受Duplij等人研究工作的启发，又由于含三个变元的量子多项式代数的自同构形式最复杂，我们将研究A1型量子群在三个变元的量子多项式代数上的模代数分类和An型量子群在量子平面上的模代数分类。本博士论文恒设Z是整环，C是复数域，参数q∈C，且q是Z上的未定元.我们首先研究了量子群Uq(sl2)在量子多项式代数Cq[x，y，z]上的模代数，并将所有模代数进行同构分类;其次，我们讨论了当n＞1时，量子群Uq(sln+1)在量子平面上的模代数结构.全文共四章.下面我们介绍本文内容结构的具体安排。
　　 第一章，我们回顾了本文将要用到的一些基本概念和基本结果.主要介绍了Hopf代数与模的定义、模代数的概念以及相关结论、量子群Uq(sln+1)的基本概念以及相关的表示理论和一般量子多项式代数的概念。
　　 第二章，我们研究了当量子多项式代数Cq[x，y，z]的自同构中t=0时，量子群Uq(sl2)在Cq[x，y，z]上的模代数分类。类似于Duplij和Sinel'shchikov[12]的讨论，我们首先引入了全作用矩阵M、K-作用矩阵Mk、EF-作用矩阵Mef以及i-次齐次符号矩阵等概念.注意到Cq[x，y，z]上的任意单项式均为量子群Uq(sl2)的生成元K的特征向量，并可求出相应的特征值.从而我们可得到全作用矩阵特征值之间的关系式.接着，根据全作用矩阵M的0-次齐次分支的特征值以及需要满足的相关关系式分析得出（Mef）0存在7种情况，其中6种情况均具体确定了Cq[x，y，z]的自同构中α，β和γ的值.同理，类似地分析讨论全作用矩阵M的1-次齐次分支的特征值以及需要满足的相关关系式，我们分析得出(Mef)1存在15种情况，其中有14种情况具体确定了相应的α，β和γ的值.最后，我们引入符号矩阵组合的记法，根据（Mef）0和（Mef）1分别确定的α，β和γ的值讨论所有可能存在的符号矩阵组合，并且排除其中的空组合，再将剩余的11种非空符号矩阵组合逐一讨论，得到了相应的模代数结构，同时将相应的模代数结构进行了同构分类。
　　 第三章，我们探讨了当量子多项式代数Cq[x，y，z]的自同构中t≠0时，量子群Uq(sl2)在Cq[x，y，z]上的模代数分类。研究的思路方法类似于第二章.根据讨论需要，同样也引入了全作用矩阵M、K-作用矩阵Mk、EF-作用矩阵Mef以及i-次齐次符号矩阵等概念.显然易知Cq[x，y，z]中任一形如xmzp的单项式都是量子群Uq(sl2)的生成元K的特征向量，故我们得到了全作用矩阵特征值之间的关系式.然后，类似第二章思路，分别讨论（Mef）0和（Mef）1所有可能存在的情况.我们根据α，β和γ的取值情况讨论得知共存在31种符号矩阵组合，然后排除了16种空组合.对于剩下的15种符号矩阵组合，我们逐一进行证明，结果发现其中有14种符号矩阵组合也为空组合.最后我们得到了t≠0时量子群Uq(sl2)在Cq[x,y，z]上的模代数结构。
　　 第四章，我们讨论了当n＞1时，量子群Uq(sln+1)在量子平面上的模代数分类。首先回顾了Duplij和Sinel'shchikov[12]的量子群Uq(sl2)在量子平面Cq[x，y]上的模代数分类这篇文章的结论.在[12]中，作者得到了六大类模代数结构.我们根据量子群Uq(sln+1)与量子群Uq(sl2)之间的关系，逐一验证这六大类模代数结构是否满足量子群Uq(sln+1)的所有关系式.最后发现只有一类模代数结构满足量子群Uq(sln+1)的所有关系式，从而我们得到了量子群Uq（sln+1）在量子平面上的模代数。

目录

引言

第一章 预备知识

1．1 Hopf代数与模

1．2 模代数及其相关知识

1．3 量子群Uq(sln+1)及相关表示理论

1．4 一般量子多项式代数

第二章 当t=0时,量子群Uq(sl2)在Cq［x,y,z］上的模代数分类

2．1 模代数Cq［x,y,z］的零次齐次分支的相关讨论

2．2 模代数Cq［x,y,z］的一次齐次分支的相关讨论

2．3 主要结论

第三章 当t≠0时,量子群Uq(sl2)在Cq［x,y,z］上的模代数分类

3．1 模代数Cq［x,y,z］的零次齐次分支的相关讨论

3．2 模代数Cq［x,y,z］的一次齐次分支的相关讨论

3．3 主要结论

第四章 量子群Uq(sln+1)在量子平面上的模代数分类

4．1 量子群Uq(sl2)在量子平面上的模代数分类

4．2 量子群Uq(sln+1)在量子平面上的模代数分类

参考文献

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