Cartan型李代数的量子化和限制B型双参数量子群

摘要

本文主要包含两部分内容：第一部分研究了Cartan型单李代数中W型和S型的李双代数结构的量子化问题，具体确定了它们对应的各种新的量子群结构；第二部分通过B型双参数量子群构造并研究一类有限维点Hopf代数，即限制B型双参数量子群． 1．Cartan型单李代数W型和S型的量子化问题在第二章中我们首先构造了具体的Drinfel’d扭，它依赖于经典的 Yang-Baxterr矩阵．利用Drinfel’d扭的一般量子化方法给出特征0域上广义Witt代数W上李双代数的具体的量子化．为了研究特征p域的Cartan型限制单李代数W型的量子化，我们首先研究了广义Witt代数W的“正部分”W+(它是特征0域上的无限维单李代数)的Z-形式Z<'+><,Z>去在特征0域上的整形式的量子化．在特征p域上，W<'+>商去其极大理想J<,1>(定义见文中引理2．2．2)恰好为Jacobson-Witt代数W(n；1)(即Cartan型限制单李代数w型)．我们对W<'+><,Z>在特征0域的整形式的量子化采用模约化技术：模p约化和模“限制”约化，就得到Jacobson-Witt代数W(n；1)的限制包络代数的有限维量子化，即W(n；1)的限制包络代数的截断的p多项式变形u<,t,q>(W(n；1)，这是特征p域上的非交换、非余交换的有限维Hopf代数，其维数为p<'1+np<'n>>(视t为未定元)或p<'np<'n>>(t∈．κ为某p多项式的根)．我们的结果包含了C．Grunspan([39]，J．Algebra 280(2004)，145-161)给出的特征0域上n=1的情形．处理特征p域的情形，我们用到模李代数理论的一些技巧，与C．Grunspan的处理[39]是不同的(事实上，C．Grunspan对特征p域的处理是有根本性错误的)．我们发现两两不同的基本Drinfel’d扭的合成仍然是Drinfel’d扭，以及水平方向的Drinfel’d扭，这些扭给出更多的W<'+><,Z>在特征0域上的整形式的量子化，通过约化得到更多的Cartan型单李代数W型的量子化． 第三章我们用相似的方法通过比较复杂的讨论解决了特征0域上广义Cartan型S李代数及特征p域上特殊李代数S(n；1)的量子化问题．我们还得到一般性结论，即具有不同长度的扭给出的量子化结果是不同的．特别值得指出的是，我们所得到的这些量子群结构均包含了著名的Radford Hopf代数(D．E．Radford于七十年代中期提出，见[76])作为其子Hopf代数． 2．限制B型双参数量子群第四章我们研究了Bergcron—Gao-Hu[12]定义的双参数量子群U<,r,s>(so<,2n+1>)在参数r、s均为e次单位根时的e次齐次中心元生成的Hopf理想I<,n>，并进而构造(有限维)限制型双参数量子群u<,r,s>(so<,2n+1>)，其维数是e<'2n<'2>+2n>．我们证明了这类Hopf‘代数是点的，利用U<,r,s>(so<,2n+1>)中的斜本原元性质，确定了两个限制双参数量子群同构的充分必要条件，进一步证明了U<,r,s>(so<,2n+1>)关于其Borel子代数具有Drinfel’d Double结构．我们还完全确定了的左右积分元．通过左右积分元及L．H Kauffman和D．E．Radford[51]的结论给出了这类点Hopf代数存在ribbon元的充分必要条件，即U<,r,s>(so<,2n+1>)有ribbon元当且仅当e是奇数．这类新的点Hopf代数给出的新的ribbon元可以提供重要的扭结不变量． 代数闭域上有限维Hopf代数的分类问题至今尚未解决，那么通过各种途径构造有限维Hopf代数的例子是很有意义的． Cartan型李代数的量子化结果和限制B型双参数量子群为我们提供了新的有限维Hopf代数的例子．

目录

文摘

英文文摘

学位论文独创性声明及学位论文使用授权声明

第一章引言

§1.1研究背景

§1.2本文的主要结果和内容安排

§1.3基础知识

第二章Cartan型李代数W系列的量子化

§2.1背景介绍

§2.2基础知识

§2.3广义Witt型李双代数的量子化

§2.4 Jacobson-Witt型模李代数W(n；1_)的量子化

§2.5水平方向的量子化

第三章Cartan型李代数S系列的量子化

§3.1广义Cartan型S李代数的量子化

§3.2特殊代数S(n；1_)的量子化

§3.3基本Drinfel'd扭的合成

§3.4水平方向的量子化

第四章限制B型双参数量子群

§4.1基础知识

§4.2限制B型双参数量子群

§4.3限制双参数量子群间的同构

§4.4 Drinfel'd double结构

§4.5积分元

§4.6 Ribbon元

参考文献

论文目录

后记