几类离散动力系统分支问题的研究

摘要

分支现象是非线性动力系统复杂动力学的主要表现形式之一;在离散系统和连续系统中都可能存在分支现象。在分支问题研究中，离散系统占有重要地位。
　　本篇硕士论文主要研究几类离散系统的分支问题，全文由五章构成，主要内容如下:
　　第一章主要概述了本文研究的背景、意义及所做的主要工作。
　　第二章简单地回顾了离散动力系统的基本概念、局部分支理论、中心流形定理和Lyapunov指数等。
　　第三章主要研究了一类具有非单调泛函响应的捕食-被捕食系统的稳定性和分支问题，该系统最初由Hu，Teng和Zhang[43]于2011年提出。首先，我们列举了一连串反例显示文献[43]中对不动点E3和E4的局部稳定性的研究结果存在明显的局限性和错误，在此基础上，本章完整地研究了不动点E3和E4的局部稳定性;其次，本章修正并完善了一个被很多文献反复引用的重要引理，该引理是研究给定系统稳定性和分支的关键方法之一;然后，通过严格的数学证明研究了该系统不动点E1的稳定性和分支;不像文献[43]只是进行粗糙的数值模拟、提供一堆难于验证的冗长的数学表达式，我们给出了非常简单的判定出现Flip分支和Fold分支的充分条件，该条件主要由已知系统的系数表达式构成;最后，我们给出了数值模拟结果，该结果不仅验证了理论分析的正确性，而且还展示了该系统其他的复杂有趣的动力学性质，比如倍周期分支、拟周期轨道和混沌集等。本章主要是利用中心流形定理、投影法和分支理论等来研究该系统的分支问题的。
　　第四章，首先，经过拓扑变化得到一个半离散化的单种群系统;然后通过中心流形定理和分支理论研究了该系统的稳定性和分支，结果表明该系统的不动点在一定的参数条件下会出现Neimark-Sacker分支，并且研究了分支出的闭轨的稳定性;最后数值仿真不仅验证了理论分析的正确性，同时展现了一些新的有趣的动力学性质。
　　第五章首先研究了一个三阶有理差分方程2-周期的三分性猜想;然后研究了该差分方程的分支问题;得到的结果部分解决了已知文献中的一个猜想。

目录

摘要

第一章 引言

1．1 已有的工作概况

1．2 本文主要研究工作

第二章 理论基础

2．1 动力系统的基本概念

2．2 中心流形定理

2．3 局部分支理论

2．4 Lyapunov指数谱

第三章 一类具有非单调泛函响应的捕食-被捕食系统的稳定性和分支问题的研究

3．1 系统的建立

3．2 重要引理

3．3 E3(x3，y3)和E4(x4，y4)的稳定性

3．4 E1的稳定性和分支

3．5 数值仿真

第四章 一类半离散化种群系统的稳定性和Neimark-Sacker分支的研究

4．1 系统的建立

4．2 不动点的存在性和稳定性

4．3 Neimark-Sacker分支

4．4 数值模拟

第五章 一类三阶有理差分方程的分支研究

5．1 系统的建立

5．2 正不动点的全局渐近稳定性

5．3 2-周期解的存在性

5．4 无界解的存在性

5．5 分支分析

5．6 2-周期解的稳定性

总结

参考文献

附录

致谢

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