群的共轭性质与可分性质

摘要

1911年，M.Dehn提出了组合群论的三个基本问题，即：字问题、共轭问题、同构问题。对于有限呈示并且是剩余，它的字问题(共轭问题)是可解的。对于有限呈示并且子群可分的群，广义字问题是可解的。在这些问题的解决中，群的剩余性质和可分性质是必不可少的。　　剩余可分性也是抽象群论关注的性质。对它们的深入研究对于无限群本身的研究和发展也是有意义的。而且如果在群上定义一个射有限(profinite)拓扑，就得到一个拓扑群，对剩余可分性的研究就和对拓扑的性质的研究结合起来。　　在第一章中，介绍了剩余性质和可分性质的定义和一些已有的结果。我们还给出了后面要用到的一些定义与结论。　　在第二章中，首先对广义自由积的性质作了一些说明。这些性质将会在后面的讨论中用到。然后我们讨论了一些特殊的可分性质，这些性质在我们后面的讨论中是需要的。　　第三章讨论了剩余有限群和剩余有限p-群。给出了广义自由积为剩余有限性的判定条件，并且得到了顶点子群是有限p-群的多边形积(polygonalproducts)是剩余有限群的一个条件。在这一章中，还讨论了广义自由积成为剩余有限p-群的条件。　　第四章讨论群的循环可分性(cyclicsubgroupseparablity)。在给出循环可分群的一些基本性质后，首先讨论了广义自由积成为循环可分群的判定条件，然后再考虑HNN-扩张的循环可分性。　　第五章研究了群的共轭可分性，而且我们还得到了循环共轭可分性(cyclicconjugacyseparability)的一个判定定理。　　最后在第六章中，讨论了非幂子群个数对群的影响。证明了如果非循环群的非幂子群个数有限，那么它就是有限群。并且由此给出了群的一个分类。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明

第一章定义与背景

§1.1简介

§1.2一些基本的定义

§1.3剩余可分性以及相应的例子

第二章一些特殊可分性质

§2.1广义自由积的性质

§2.2可分性的一些初步结果

第三章剩余有限群、剩余有限p-群

§3.1剩余有限群的例子

§3.2剩余有限群

§3.3剩余有限p-群

第四章群的循环可分性

§4.1关于循环可分性的一些结论

§4.2循环可分群的判定

§4.3关于HNN-扩张

第五章关于共轭可分

§5.1简介

§5.2共轭可分

第六章非幂子群个数对群的影响

§6.1简介

§6.2具有有限个非幂子群的群

参考文献

攻读博士学位期间发表的文章

致谢