有限群子群的阶，个数对群的影响

摘要

我们知道在群的理论研究中，常常要知道群的一些数量性质，例如：群的阶，群的元素的阶，同阶元的个数，子群的阶，子群共轭类的个数，一个群的Sylow子群的个数等等.这样一些数量性质是群论研究的重要内容.反过来，知道群的一些数量性质，是否可以得到群的性质呢？这也是群论工作者十分关注的问题.事实证明，从简单的数量性质出发，的确可以得到很好的性质.例如：奇数阶群可解；如果一个群只有一个Sylow p-子群，则该Sylow p-子群正规，且是特征子群；πe(G)表示G的元素阶之集，如果πe(G)={1，2，3，5)，则G≌A5等. 子群的指数也是群的一个重要数量性质，本文第二章主要讨论了子群的指数集合对有限群的影响，得出了如果两个群的子群的指数集合相等，若其中一个可解，则另一个也可解，且两个群的阶也相等.并对指数集合中的数字的连续性也进行了一定的研究. 若两个有限群子群的指数集合相等，显然子群的阶之集也相等，本文的第三章主要讨论了子群的阶的集合对单群的影响，并用子群的阶的集合刻画了部分单群，并且得出若两个单群的子群的阶之集相等，则这两个单群同构. 子群的个数对有限群也有很大的影响，不少群论工作者对此也有很多的研究，如G.A.Miller教授给出了所有真子群个数为10或11的有限群，并给出了交换群的子群的个数的计算方法，本文的第四章利用子群的个数给出了几类有限群的新刻画，当｜G｜=2p；22p(p为奇素数)；3p2(p>3，p为奇素数，且3不整除p-1)时，G可由子群的个数唯一确定.

目录

文摘

英文文摘

声明

引言

第一章基本概念和基本结果

第二章有限群子群的指数集合对群的影响

第三章有限群子群的阶的集合对群的影响

第四章某些有限群的新刻画

参考文献

致谢