随机游动和Lévy过程的超出与不足的渐近性及其应用

摘要

在本文中，我们将研究随机游动和Lévy过程的超出与不足的渐近性，也包括Lévy过程自身的渐近性．所谓超出，就是给定一个水平后，相应的过程在某个时刻，超过这个水平的程度．超出在许多领域内，诸如排队系统，风险理论，分支过程，无穷可分分布等，都有重要应用，值得研究．本文的应用主要集中在风险理论中．事实上，破产事件就是随机过程的超出的某个事件．周知，破产事件可能性的大小，即破产概率，是风险理论中的一个重要的研究对象．破产概率衡量了保险公司风险的大小，因此它是众多学者关注的核心问题之一．但是破产概率却不能反映破产时亏损的严重性，从而一些学者就开始更加全面准确地刻画破产时的亏损程度，也就是对破产时的超出进行全方位的探讨，如不仅估计破产概率的大小，而且给出一些平均亏损程度的刻画，即给出有关超出的矩的渐近性质．另一方面，不足则刻画了破产前的盈余程度．无疑地，上述破产时的亏损程度与破产前的盈余程度都对保险公司估计、控制和管理风险具有相当重要的理论意义和现实价值．
　　 在风险理论中，为了描述复杂的客观环境，人们建立了各种风险模型．而这些模型往往是经典的更新风险模型的推广，比如在模型中，以变量间某种相依关系取代独立的关系，又比如不但考虑保险风险的影响，还考虑金融风险（利率）的影响等等．近来，一种以Lévy过程理论为基础的Lévy保险风险模型正成为人们关注的热点之一．这一模型也是风险理论中的一些模型的一般化，比如被布朗运动干扰的风险模型，被p-平稳Lévy过程干扰的风险模型等都是一般Lévy保险风险模型的特殊情形．又因为经典的更新风险模型最终可以归结为随机游动这一离散过程，而Lévy保险风险模型就是一个Lévy过程，所以本文就专门讨论随机游动和Lévy过程这两种过程的超出和不足的渐近性．
　　 另外，在保险业界盛行一个大跳原理，即破产往往是由一个大跳，也就是一个大额索赔造成的(见Embrechts等(1997)[35])．因此，本文主要关注重尾索赔的情形，也就是在随机游动中我们一般假设索赔额的分布是重尾的；在Lévy保险风险模型中，则假设其对应的Lévy测度构成的分布是重尾的．重尾分布族中最重要的子族是次指数分布族或者局部次指数分布族．次指数分布族最能体现一个大跳原理，非常符合保险业的实际情况，同时它又被证明不仅是得到破产概率渐近性的充分条件，还是必要条件．因此次指数的假设是合理的．
　　 最后，我们指出，因为破产时的亏损额不可能是无穷大，因而本文将主要讨论局部破产概率的渐近性．周知，对小额索赔的情形，即索赔额服从轻尾分布时，其局部分布往往与非局部（全局）分布是渐近等价的，因此，不必专门讨论轻尾索赔时的局部破产概率．但在大额索赔，即索赔额具有重尾分布时，局部破产概率往往是全局破产概率的无穷小量，换言之，保险公司防范局部风险的代价远比防范全局破产概率的代价为小．因此，局部破产概率的研究在某种程度上有更大的现实意义．
　　 本文将分为如下四章．
　　 在第一章，我们给出所用的一些记号，约定和概念，主要介绍随机游动，Lévy过程以及一些相关分布族及其基本性质．
　　 在第二章，我们获得了关于随机游动超出和不足的某个函数φ的矩的局部和非局部渐近性的等价条件和充分条件，这里φ是一个非负的长尾函数．由强马氏性，我们发现超出与不足的矩和首次梯高对应的矩满足一些更新方程．因此，我们首先考虑首次梯高的矩的局部和非局部渐近性，继而给出了一些更新方程的解的渐近性的等价条件和充分条件，最后获得本章的主要结果．
　　 在第三章，我们利用Lévy过程的轨道分解的方法，获得了带重尾Lévy测度的Lévy过程自身的一致局部渐近性．应用此结果，我们研究了有限时破产概率的一致渐近性，换言之，得到了有限时破产概率的渐近估计．从中，我们发现在被布朗运动干扰的复合泊松风险过程中，布朗运动对有限时破产概率的渐近性质没有任何影响．
　　 在第四章，我们获得了带重尾Lévy测度的Lévy过程的超出和不足的一致局部渐近性．应用这些结果，获得了局部破产概率的一致渐近性．我们同样发现在被布朗运动干扰的复合泊松风险过程中，布朗运动对局部破产概率的影响也消失了．最后，我们又利用Lévy过程超出的一致渐近性，讨论了其矩的渐近性．

目录

文摘

英文文摘

第一章 引言

§1.1 随机游动的简介

§1.2 Levy过程的简介

§1.3 一些分布族的定义及其性质

第二章 随机游动的超出与不足的矩的渐近性

§2.1 主要结果

§2.2 首次上升梯高的矩的渐近性

§2.3 更新方程的解

§2.4 主要结果的证明

第三章 Levy过程的渐近性

§3.1 主要结果

§3.2 定理的证明

§3.2 有限时破产概率的渐近性

第四章 Leny过程的超出与不足的渐近性及其应用

§4.1 Levy过程的超出与不足的渐近性

§4.2 局部破产概率的渐近性

§4.3 Levy过程的超出的矩的渐近性

有待进一步研究的问题

参考文献

攻读博士期间发表和待发表的论文

致谢