含Caffarelli-Kohn-Nirenberg临界指数项的奇异非线性椭圆方程的研究

摘要

在本论文中，我们应用变分方法和临界点理论，并结合摄动方法对Caffarelli-Kohn-Nirenberg型临界奇异问题进行研究，获得了一系列新的可解性和多重性结果.我们的结果包含在本论文中的第二至六章.
　　 在第二章中，我们主要讨论奇异非线性椭圆方程的G-对称解，包括：(1)讨论RN上半线性奇异椭圆方程的G-对称解的存在性和多重性，这里的主要难点在于方程具有Caffarelli-Kohn-Nirenberg临界指数项和区域的无界性.所得的结果推广了文[1，2]中相应的结果.(2)讨论有界区域Q()RN上具有Hardy-Sobolev临界指数的拟线性椭圆方程G-对称解的存在性和多重性.这里的主要难点在于对称临界原理的证明和低阶扰动项的影响.所得的结果推广了文[1，2，3]中相应的结果.
　　 在第三章中，我们主要讨论一类含小参数扰动项的奇异非线性椭圆方程的正解，包括：(1)当扰动项uγ的指数0<γ<1时，通过应用极小极大方法和分析技巧我们得出了方程(Qγ)两个正解的存在性.(2)当扰动项uγ的指数γ=1时，我们应用摄动方法得出了方程(Q1)一个正解的存在性.这些结果改进了文[4，5]中相应的结果.
　　 在第四章中，我们主要研究带非齐次项的奇异拟线性椭圆方程正解的存在性.所得到的结果推广了文[6，7]中的相应的结果.
　　 在第五章，我们主要讨论含Caffarelli-Kohn-Nirenberg临界指数项的Brezis-Nirenberg问题，我们(1)讨论含不定位势的半线性奇异椭圆方程在有界区域上正解的存在性和多重性.所得到的结果统一和推广了文[8]中的结果.(2)讨论一类拟线性奇异椭圆方程Brezis-Nirenberg问题，通过Lusternik-Schnirelmann畴数理论得到方程正解的多重性.所得到的结果推广了文[9，10，11]中相应的结果.
　　 在第六章，我们主要研究一类含Caffarelli-Kohn-Nirenberg临界指数项的奇异拟线性椭圆方程径向解的存在性和多重性.这类问题的难点在于方程所对应的泛函失去“紧性”.我们应用变分方法和分析技巧克服了这一困难，得到了方程径向正解和结点解的存在性和多重性.得到的结果推广了文[12，13，14，15]中相应的结果.