几类与非线性椭圆型方程相关的重排优化问题研究

摘要

本论文讨论了如下形式的重排优化问题：(P1)：min{Ψ(g):g G∈R(f)}或(P2)：max{Ψ(g):g G∈R(f)},其中f为定义在有界区域Ω? C RN上的可测函数，R(f)为由f所有的重排函数组成的集合，目标泛函Ψ：R(f)→R分别对应如下方程(此处公式省略）的能量泛函以及对应方程(此处公式省略）的第一特征值，其中△pu= div(|▽u|p-2▽u)是p-Laplace算子，dxvA(x,▽u)是一般的散度型算子，Lsθ是非局部算子，(-△)s是分数阶Laplace算子.
　　在第二、三章中，我们在不同的条件下分别证明了方程（I)和（II)对应的两个重排优化问题都是可解的，且当Ω= B(0,r)时问题（P1)的解是球对称的.
　　在第四章中，我们利用变分不等式中的相关结果得到了方程（III)对应的重排优化问题（P1)的可解性.
　　在第五章中，我们用处理非局部算子的相关理论和方法证明了方程（IV)对应的两个重排优化问题都是可解的.
　　在第六章中，我们证明了方程（V)对应的两个重排优化问题都是可解的，且当Ω= B(0,r)时，问题(P1)的解是球对称的.

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主要符号对照表

第一章引言

§ 1 .1 选题背景及研究进展

§ 1 .2 本文的主要工作

§ 1 .3 预备知识

第二章含有扰动项的椭圆方程中的重排优化问题(I)

§ 2 .1 引言及主要结果

§ 2 . 2 方程( P hf )解的存在唯一性

§ 2 . 3 重排优化问题( O p t1)和 (Opt2) 的可解性

第三章含有扰动项的椭圆方程中的重排优化问题(II)

§ 3 .1 引言

§ 3 .2 预备知识

§3 .3 方程（Pλ，h，f)解的存在唯一性

§ 3 . 4 重排优化问题(Optm) 的可解性

§ 3 . 5 重排优化问题(OptM)的可解性

第四章与一类散度型算子相关的重排优化问题

§ 4 .1 引言

§ 4 .2 预备知识

§ 4 .3 方程（Af)解的存在唯一性

§ 4 .4 —个重排优化问题

第五章与一类非局部算子相关的重排优化问题（I)

§ 5 .1 引言

§ 5 .2 预备知识

§ 5 .3 方程（L s) 解的存在唯一性

§ 5 . 4 重排优化问题(Opt1 ) 的可解性

§ 5 . 5 重排优化问题(Opt2) 的可解性

第六章与一类非局部算子相关的重排优化问题（II)

§ 6 .1 引言

§ 6 .2 预备知识

§ 6 . 3 重排优化问题(Optm )的可解性

§ 6 . 4 重排优化问题(OptM)的可解性

有待继续探讨的问题

参考文献

攻读博士期间完成的论文

致谢