多集合分裂可行问题的投影算法研究

摘要

分裂可行问题产生于工程实践，是一类重要的最优化问题，在生物学、医学、信号处理和图像重建等领域中有着广泛的应用。多集合分裂可行问题即寻找与一族非空闭凸集距离最近的点，使得该点在线性变换下的像与另一族非空闭凸集的距离最近。人们先后提出了多种求解多集合分裂可行问题的优化算法，其中投影算法构造简洁，具有良好的可行性，是一类基本且重要的方法。
　　本文主要探讨求解多集合分裂可行问题的投影算法。主要创新工作如下：
　　（1）提出了基于求解分裂可行问题的投影算法，新算法不需要计算矩阵谱半径，并且在迭代过程中，不用反复从初始值开始计算来选取步长，进而减小计算的工作量，提高算法的运算效率。同时该算法具有较好的稳定性，还给出了算法的全局收敛性证明，并且进行了数值试验，数值试验结果表明该算法具有较快的收敛速度与良好的可行性。
　　（2）基于求解分裂可行问题的不精确投影算法，推广到多集合分裂可行问题的求解，给出了求解多集合分裂可行问题的不精确投影算法。首先，利用到包含给定闭凸集的半空间上的投影代替到闭凸集上的投影，投影更容易计算。其次，利用Armijo-like搜索来获取步长代替原来的恒定步长，并且利用得到的迭代步作为一个预测步，再进行一次校正。给出了预测校正不精确投影算法，该算法不需要计算矩阵的范数和最大特征值。新算法仍具有全局收敛性，最后给出了算法的数值试验结果，实验结果表明改进的算法是可行有效的。
　　（3）根据KM迭代进一步给出了自适应不精确投影算法，使得目标函数在每一步迭代过程中充分地减小。还证明了算法的全局收敛性，并对算法进行了数值试验，表明了该算法具有良好的可行性与较快的收敛速度。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

专用术语注释表

第一章 绪论

1.1分裂可行问题的定义与应用背景

1.2分裂可行问题的研究现状

1.3投影算法的优势

1.4本文的主要研究工作

第二章 预备知识

2.1投影的概念和性质

2.2单调映射与凸函数

2.3变分不等式与分裂可行问题

2.4投影收缩算法

第三章 求解多集合分裂可行问题的一种改进的投影算法

3.1算法思想

3.2算法3.2及收敛性分析

3.3数值试验

第四章 用不精确投影方法解决多集合分裂可行问题

4.1引言

4.2算法4.1

4.3算法4.2及收敛性分析

4.4数值试验

第五章 将KM迭代应用于解决多集合分裂可行问题

5.1引言

5.2算法5.1及收敛性分析

5.3数值试验

第六章 总结与展望

参考文献

附录1 程序清单

附录2 攻读硕士学位期间撰写的论文

致谢