基于位势阱理论的两类伪抛物方程解的存在性、衰减与爆破

摘要

伪抛物方程以及它们的解在描述物理以及其他领域的一些进程起着十分重要的作用。比如非线性扩散长波的单向传播、人口的聚集、带有输入源的半导体组的非稳定进程。最近几十年，对于这类偏微分方程系统解的行为问题的研究已经引起了广泛的关注。本文分别讨论带有锥退化的半线性伪抛物方程以及带有对数非线性源的分数阶伪抛物方程解的全局存在性、指数衰减和爆破.主要内容安排如下: 第一章介绍了伪抛物方程的研究背景以及发展趋势，简单描述本文所做的工作. 第二章研究了带有锥退化的半线性伪抛物方程解的全局存在性、指数衰减和有限时刻爆破.首先，介绍了一族位势阱以及它们对应的集合，通过位势阱理论构造了解的存在性与初值u0的关系.然后，利用Faedo-Galerlin方法、凸性引理和一族位势阱的性质，得到了不同初始条件下全局弱解的存在性与不存在性结果:在低初始能量（J（u0）＜d）的情形下，当I(u0)＞0或者‖▽Bu0‖L2n/2(B)=0时，解是全局存在的，当I(u0)＜0时，解在有限时刻爆破，在临界初始能量(J(u0)=d)，当I(u0)≥0时，解是全局存在的，当I(u0)＜0时，解在有限时刻爆破.与此同时，通过构造微分不等式，得到了全局解的能量泛函的衰减估计以及局部解爆破时间上下界的估计. 第三章研究了带有对数非线性源的分数阶伪抛物方程解的全局存在性、指数衰减和爆破.首先，介绍了分数阶拉普拉斯算子（-△）s与分数阶索伯列夫空间Hs的关系.然后，通过一族位势阱讨论了不变集和解的真空隔离行为.最后，利用Faedo-Galerlin方法和一族位势阱的性质，得到了不同初始条件下全局弱解的存在性与不存在性结果.在低初始能.量(J(u0)＜d)的情形下，当I(u0)＞0或者‖u0‖x0(Ω)=0时，解是全局存在的，当I(u0)＜0时，解在无穷时刻爆破;在临界初始能量(J(u0)=d)'当I(u0)≥0时，解是全局存在的，当I(u0)＜0时，解在无穷时刻爆破.与此同时，通过构造微分不等式，得到了全局解的能量泛函的衰减估计. 本文的创新:将标准的索伯列夫空间上的半线性伪抛物方程扩展到锥索伯列夫空间上，讨论了锥索伯列夫空间上半线性伪抛物方程解的性质;将标准的索伯列夫空间上的带对数非线性源的伪抛物方程扩展到分数阶索伯列夫空间上，讨论了分数阶索伯列夫空间上带对数非线性源的伪抛物方程解的性质.

目录

声明

摘要

第一章前言

§1．1 研究工作的背景和发展概况

§1．2本文的主要工作

第二章带锥退化的半线性伪抛物方程解的全局存在性、指数衰减和有限时刻爆破

§2．1引言

§2．2 锥索伯列夫空间

§2．3 不变集和真空

§2．3．1 位势阱的性质

§2．3．2不变集和真空

§2．4 低初始能量J(u0)＜d情形

§2．4．1 解的全局存在性与衰减

§2．4．2解的有限时刻爆破

§2．5 临界初始能量J(u0)=d情形

第三章带对数源的分数阶伪抛物方程解的全局存在性、指数衰减和无穷时刻爆破

§3．1 引言

§3．2 分数阶索伯列夫空间

§3．3 不变集和真空

§3．3．1位势阱的性质

§3．3．2不变集和真空

§3．4低初始能量J(u0)＜d情形

§3．4．1 解的全局存在性与衰减

§3．4．2解的无穷时刻爆破

§3．5 临界初始能量J(u0)=d情形

第四章总结与展望

参考文献

附录

致谢