Limit Cycle Problems for Some Kinds Of Planar Polynomial Systems

摘要

在这篇博士论文中我们研究了两类平面定常系统——二次系统和三次系统的极限环问题，特别是系统地研究了叶分类下的Ⅲ类二次系统当m=0时极限环问题，本文分为四章。 第一章为引言，引述了多项式系统定性理论中围绕极限环问题研究的一些基本概念与方法，旋转向量场理论的主要结论及后面要用到的一些引理。 第二章讨论了两类非Liénard型的三次系统，在绝大多数情况下都证明了相应系统最多只有一个极限环，另外发现其中第二类系统当不出现三次项时，对应的二次系统会出现中心，这一例子不能包含在[9]、[17]和[49]等重要文献中二次系统具有中心的充要条件之中，也就说明其不完备，必须加一组条件。 第三章则研究了一般形式的三次Liénard系统，当它具有一个非鞍点和两个鞍点时的定性性态。分析了此系统极限环不存在、存在性、惟一性等条件，指出其极限环的变化过程及极限环分支图。 在第四章中我们对m=0时的Ⅲ类二次系统的极限环问题作了系统的研究，首先证明其极限环是集中分布的，因此不失一般性可限于讨论此系统围绕原点的极限环问题，把系统写成x=-y+δx+lx2+ny2，(1)y=x(1+ax-by)，a＜0易见O外的极限环只能保持在1+ax-by＞0内，在此半平面内系统(1)关于参数δ构成广义旋转向量场。当δ=0时系统不存在极限环，且当a(2l-1)＜0(＞0)时O为不稳定(稳定)的一阶细焦点；当a(2l-1)=0时O为中心，故可限于讨论l≠1/2的情况。首先证明当δa(2l-1)≤0时不存在极限环，而当δ变为δa(2l-1)＞0时，由Hopf分支在O外产生一个极限环，随|δ|增大而单调扩大。O外极限环的个数取决于外围形成怎样的分界线环：如果最终形成通过1+ax-y=0上的一个鞍点的同宿环，则在这些情况(依赖于系数a，l，n)下我们均证明了极限环的惟一性。也就是说，存在适当的δ0，使当δ在0与δ0之间时，系统恰有一个极限环，对此外的δ值，则系统无环；如果外围形成通过鞍点N(0，1/n)(当n≠0时)的同宿环，它与Hopf分支从O所产生的极限环具有相反的稳定性，则O外将出现两个极限环的情况；O外也可能形成通过两个无穷远鞍点的无界异宿环的情况。在后面这两种情况下，我们分析了极限环从一个到两个的演变过程(依赖于不同的参数值范围)，也给出了相应的分支图与拓扑结构图，如果能排除突然跳出半稳定环而分裂的情况(在|δ|增大的过程中，这是另一个很困难的问题)，则系统(1)的极限环问题就彻底解决了。

目录

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Chapter 1 Introduction

Chapter 2 Limit cycle problem for a non-Liénard type cubic systems

§2.1 The case with ψ(y) = cy

§2.2 The case with ψ(y) = cy2

Chapter 3 Limit cycle problem for a Liénard type cubic system

§3.1 Introduction and several lemmas

§3.2 The case a1 = 0

§3.3 The case a1 ≠ 0

Chapter 4 Limit cycle problem for quadratic system of type (Ⅲ)m=0

§4.1 Introduction and some lemmas

§4.2 Properties of the finite critical points

§4.3 The case with N an antisaddle

§4.4 The case with N saddle

References

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