椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究

摘要

本文系统研究偏微分方程的弱有限元方法(Weak Galerkin Finite ElementMethods)，简称WG方法.重点讨论重调和方程、麦克斯韦方程组及相关的div-curl问题的WG有限元方法.重调和方程起源于弹性薄板理论.弹性薄板是指其厚度远小于其他两尺寸的弹性体.麦克斯韦方程组是苏格兰数学物理学家麦克斯韦在1861年到1862年期间建立的描述电场与磁场关系的四个基本方程.在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体.该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在.div-curl问题是求解麦克斯韦方程组的基本单元.因此，设计求解这两类问题的高效数值算法既有必要性，同时又具实际意义.我们的WG有限元方法本身亦是对传统有限元方法的继承和发扬，它为科学发展中的大量问题提供了一个新的且行之有效的计算工具. 第一章，我们给出本文所有其它各章节将用到的一些预备知识. 第二章，我们对重调和方程提出了一种新的高效的数值算法-WG有限元方法.这个新的WG有限元方法是基于重调和方程的等价于H2半范数的变分形式.本章特别引入了定义在多边形或多面体有限元剖分上的间断函数的弱Hessian和离散弱Hessian，并将其成功地应用在相应的变分形式中以构造WG有限元离散格式.如此构造的WG有限元方法的矩阵具有对称正定性，且不依赖于任何参数的选取.本章理论上建立了在H2等价范数意义下，WG有限元方法的最优阶误差估计;以及在L2范数意义下，WG有限元方法的最优阶误差估计（最低阶元，即分片二次元，除外）. 第三章，我们给出了数值实验来验证第二章所建立的关于WG有限元方法的收敛性理论.我们首先对第二章提出的WG有限元方法给出了基于变分形式的数值实验.由于变分形式导出的矩阵问题的规模比较大，为减小计算代价，我们其次对WG有限元方法分别推导了基于矩阵形式的Schur补，并给出了相关的数值实验.数值实验结果充分验证了第二章所建立的关于WG有限元格式的有效性和收敛精度. 第四章，基于第二章提出的WG有限元方法，我们提出了求解重调和方程的杂交WG(HWG)有限元方法.HWG有限元方法引入了定义在单元边界上的Lagrange乘子，该乘子是真解的某种法向导数的数值近似.本章建立了HWG有限元方法的最优阶误差估计，推导了一个实用的快速计算算法，即Schur补算法.该Schur补算法的精髓是对WG有限元方法所形成的矩阵问题消去每个单元内部的自由度，生成一个仅依赖于单元边界自由度的规模缩小了的线性方程组.该计算算法极大地降低了WG有限元方法的矩阵问题的复杂度. 第五章，我们对静态麦克斯韦方程组构造了一类高效的WG有限元离散格式.本章特别引入了离散弱旋度和离散弱散度，并将其应用于相应的变分形式中.通过强加一个稳定项来确保近似函数的内在弱连续性，本章成功地构造了一类无参数，并适用于任意形状多面体剖分的WG有限元方法.在理论层面，本章建立了麦克斯韦方程组的WG有限元方法在一类离散范数下的最优阶误差估计.通过局部变量消去法，我们得到一个仅与单元边界自由度相关的线性方程组的Schur补形式，该形式保证了WG有限元方法在科学计算中的有效实施. 第六章，我们针对一类div-curl问题构造了高效WG有限元离散格式.这项研究以Helmholtz分解为切入点，首先将div-curl问题分解为一个二阶椭圆方程和一个静态麦克斯韦方程组，此麦克斯韦方程组的边界条件不同于第五章所研究的麦克斯韦方程组.然后我们对Helmholtz分解后得到的麦克斯韦方程组实施WG有限元方法.本章理论研究的亮点聚焦在相应的WG有限元逼近解的最优阶误差估计上.

目录

声明

摘要

前言

第1章 预备知识

1．1 Sobolev空间

1．2 H(div)和H(curl)空间

1．3 经典有限元方法概述

1．4 形状正则剖分上有限元空间的性质

第2章 重调和方程的弱有限元方法

2．1 重调和方程简介

2．2 常用数值方法

2．3 弱Hessian和离散弱Hessian

2．4 弱有限元方法

2．5 L2投影及其性质

2．6 误差方程

2．7 技术引理

2．8 误差估计

第3章 重调和方程的弱有限元方法的数值实验

3．1 基于变分形式的弱有限元方法的数值实验

3．1．1 程序实现

3．1．2 数值计算结果

3．2 基于Schur补矩阵形式的弱有限元方法的数值实验

3．2．1 Schur补矩阵

3．2．2 程序实现

3．2．3 数值计算结果

第4章 重调和方程的杂交弱有限元方法

4．1 杂交弱有限元方法

4．2 稳定性条件

4．3 误差方程

4．4 误差估计

4．5 变量消去法的有效实施

4．5．1 变量消去法的理论

4．5．2 变量消去法的计算格式

第5章 静态麦克斯韦方程组的弱有限元方法

5．1 麦克斯韦方程组简介

5．2 常用数值方法

5．3 弱散度和弱旋度

5．4 弱有限元方法

5．5 误差方程

5．6 技术引理

5．7 误差估计

5．8 Schur补

第6章 Div-Curl问题的弱有限元方法

6．1 Div-Curl问题及其分解

6．1．1 Ⅰ型边值问题的分解

6．1．2 Ⅱ型边值问题的分解

6．1．3 研究的中心问题

6．2 弱有限元方法

6．3 稳定性条件

6．4 误差方程

6．5 技术引理

6．6 误差估计

第7章 结论与展望

参考文献

攻读博士学位期间所发表及已完成的论文

致谢