椭圆型偏微分方程的有限元数值解法

摘要

本文研究的是椭圆型偏微分方程的有限元方法的数值解法。从经典边值问题的椭圆型偏微分方程出发进行研究，运用数学分析的方法，巧妙地将椭圆型偏微分方程问题转化为弱形式积分方程。运用微积分中的分步积分法和Green公式，使椭圆型偏微分方程对解的光滑性要求降低，将有限元方法直接作用于积分方程形式，得到有限元方程，证明了有限元方程解的唯一性，从理论上说明了椭圆型偏微分方程的有限元方法的数值解的可行性。
　　有限元方法作用于弱形式积分方程的本质，将问题区域进行单元划分，得到每个单元的积分方程。根据积分方程对解的要求，运用样条函数思想，建立单元上的多项式插值函数。采用数值积分方法对每个单元进行处理，得到每个单元上的系数矩阵。根据单元之间的关系，组装单元上的系数矩阵，得到总系数矩阵，从而得到有限元方程。最后根据边界条件并运用矩阵论的知识，求解有限元方程，得到椭圆型偏微分方程的有限元方法的数值解。
　　本文第四章研究的是二维椭圆型偏微分方程的有限元方法的数值解，采用的是四边形单元划分，插值函数用的是双二次元的Hermite型插值函数，数值积分用的是高斯数值积分，对边界条件进行了处理，给出了详细的四边形单元划分流程图和椭圆型偏微分方程有限元方法的流程图。最后给出了数值仿真例子，运用 Matlab编程实现了椭圆型偏微分方程的有限元的数值解的算法，得到的有限元数值解和真实解十分逼近，从而验证了本文的有限元方法的可行性。从数值仿真结果分析，本文采用的有限元算法，相比传统的四边形单元有限元算法，具有速度更快，精度更高的特点。
　　本文的第五章以椭圆型方程问题为背景研究三角形单元的有限元方法。随着计算机图形学的发展，三角形单元划分取得了很大的成就。本文采用节点增量算法，对问题区域进行单元划分，得到的单元都是满足 Delaunay条件的三角形单元。对单元采用有限元方法得到单元上的系数矩阵。对问题区域所有的三角形单元的所有节点采用自适应编号，将单元上的系数矩阵组装成总系数矩阵，得到有限元方程。最后通过数值实验，得出相比传统的三角形单元的有限元方法，本文的三角形单元的有限元方法减小了舍入误差，提高了计算精度。
　　在本文的第六章，运用本文的有限元方法结合有限差分法组成的半有限元方法，求解Sobolev方程的数值解，从理论分析和数值实验，可以得出本文的半有限元方法得到的Sobolev方程的数值解是可行的。

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1绪论

1.1论文的研究背景

1.2三角形单元划分

1.3有限元方法的研究现状

1.4插值函数理论[25]

1.5高斯数值积分理论[26]

1.6本文的研究目的和意义

1.7本文的研究内容和结构

2一维微分方程的有限元方法

2.1一维微分方程的两点边值问题

2.2一维微分方程的有限元构思

2.3一维微分方程的有限元实现

2.4数值仿真例子

3椭圆型偏微方程的有限元方法构思

3.1椭圆型偏微分方程的问题

3.2椭圆型偏微分方程的积分形式

3.3 a(u,u)的正定性

3.4椭圆型偏微分方程有限元算法的形成

4四边形椭圆型偏微分方程有限元方法的实现

4.1四边形单元划分

4.2四边形单元插值函数的形成

4.3椭圆型偏微分方程的有限元方程的建立

4.4四边形有限元算法实现

4.5数值仿真例子

5三角形椭圆型偏微分方程有限元方法的实现

5.1三角形单元划分

5.2三角形单元插值函数的形成

5.3椭圆型偏微分方程的有限元方程的建立

5.4单元节点自适应排序

5.5数值仿真例子

6 Sobolev方程的半有限元方法

6.1 Sobolev方程形式

6.2 半有限元法的半离散格式

6.3 半有限元法的全离散格式

6.4 数值例子

7总结和展望

参考文献

后记

附录：攻读硕士学位期间发表的部分学术论著