椭圆型偏微分方程及反问题的数值解法

摘要

椭圆型偏微分方程及其反问题的研究具有重要的理论意义和实用价值,它广泛应用于地球物理学、心脏病学、无损探伤和离子物理学还有生物电场问题等领域,如医学成像中 CT机的发明和应用、地质勘探中地貌的探铡、遥感科学-扣地表参数的反演、光学信号处理中信‘号的重构等。本文以椭圆型偏微分方程为背景,对其数值解法及其反问题进行了研究,具体内容包括以下几个方面:
　　(1)利用有限元方法对二维椭圆型方程正问题进行了数值求解,推导了有限元离散过程并给出了误差比较。
　　2)在正问题有效求解的基础上,研究了三类椭圆型方程反问题:边界条件反问题,参数识别反问题,点源识别反问题,分析了其不适定性的数学特征,并将其求解归结为非线性优化问题,从而为不同类型反问题的求解建立了统一处理框架。
　　3)根据算子识别的摄动法、线性化技术和正则化思想提出了一种数值迭代方法,将其应用于求解非线性优化问题,从而得到了三类反问题的稳定解。
　　(4)由于迭代方法的计算结果强烈依赖于初始值的选取,而遗传算法善于进行全局搜索,本文将这两种方法相结合,利用遗传算法选取初始猜测值,很大程度上减少了试验次数,提高了计算的效率。将这种联合反演的方法应用到三类椭圆型古程反问题,通过具体的数值模拟,表明了本文方法的可行性和有效性。

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1.绪论

1.1 课题的研究背景和意义

1.2 椭圆型方程反问题的研究现状和进展

1.3 求解偏微分方程正问题常见的数值方法

1.4 偏微分方程反问题常用的数值求解方法

1.5 本文主要工作

2. 基础知识介绍

2.1 反问题的算子理论形式

2.2 椭圆型偏微分方程正、反问题

2.3 椭圆型偏微分方程反问题的不适定性

2.5 本章小结

3. 算法介绍

3.1变量分离法

3.2 有限元法

3.3 正则化方法

3.4 遗传算法

3.5 本章小结

4．椭圆型偏微分方程正问题求解

4.1 有限元法求解椭圆型方程正问题

4.2 变量分离法求解椭圆型方程正问题

5．椭圆型方程反问题求解

5.1求解椭圆型方程反问题优化的正则化方法

5.2 数值模拟

6. 结论与展望

6.1 本文的主要工作

6.2 研究展望

致谢

参考文献