三维空间中的分形插值曲线及其计盒维数

摘要

本文的主要工作是定义并研究三维空间中一类曲线的变差，导出这类曲线计盒维数的计算公式，给出三维空间中分形插值曲线的构造方法，研究其变差性质，从而计算出这类分形插值曲线的计盒维数。文章首先介绍了几类性质较典型的分形函数并介绍它们的图像的计盒维数或Hausdorff维数定理。其次，简要介绍了已有的一元函数及其图像的研究成果，包括一元函数的变差，以及根据曲线的变差性质给出一元函数图像的计盒维数。在此基础上，将二维推广到三维，定义并研究了三维空间中曲线的δ-变差，从而导出计盒维数的公式，根据维数定理，确定两空间函数和的图像的计盒维数，计盒维数大的函数图像在两空间函数和的图像的计盒维数中起决定性作用．再次，介绍了一元分形插值函数及其图像的研究成果，包括送代函数系统、分形插值函数及相关的基本概念，自仿射插值曲线的计盒维数，插值曲线的一些性质。从而给出三维空间中的分形插值曲线的构造方法，研究了三维空间中分形插值曲线的δ-变差性质，由此得到了计算三维空间中分形插值曲线计盒维数的公式。

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绪论

第一章分形函数综述

§1.1 Weierstrass函数

§1.2 Besicovitch函数

§1.3 Rademacher函数

§1.4分数阶布朗运动

§1.5魔鬼阶梯

第二章一元函数变差及函数图像的计盒维数

§2.1一元函数的δ-变差

§2.2一元函数变差的若干引理

§2.3一元函数图像的维数定理

§2.4一元函数图像的维数性质

第三章一类空间曲线的变差及其计盒维数

§3.1一类空间曲线的变差定义

§3.2一类空间曲线维数定理的证明

§3.3一类空间曲线变差的若干引理

§3.4一类空间曲线变差的性质

§3.5一类空间曲线的维数性质

§3.5本章小结

第四章平面上的分形插值函数

§4.1分形插值函数

§4.2自仿射分形插值函数的计盒维数

§4.3平面上分形插值函数的δ-变差性质

第五章三维空间中的分形插值函数

§5.1三维空间中分形插值函数的构造

§5.2三维空间中分形插值曲线的δ-变差性质

§5.3三维空间中分形插值曲线的维数定理

§5.4本章小结

结束语

参考文献

致谢

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