几类展开的联系及其误差和函数

摘要

一个数有很多种表示方式,诸如我们非常熟悉的十进制展开、β-展开、连分数展开以及Lüroth开等。任意的数x∈[0,1]都可以展开成上述展开中的任一种。很久以前,人们已经很深入地研究了这些表示方式。本文主要研究了几类展开序列之间的联系,以及各类展开误差和函数的一些性质,包括介值性定理、积分值和图的豪斯道夫维数。第一章绪论中我们简单介绍本文的研究背景和意义。从数的性质出发,阐述数的表示方式的意义。更进一步地,介绍数的表示理论与分形之间的联系,同时给出豪斯道夫测度和维数的定义。第二章主要介绍了数的几类展开形式,详细、完整地介绍几类展开形式的迭代关系和展开方法。第三章着重讨论任意两种展开形式之间的联系。这里我们主要讨论无理数的展开形式,因为对于任意的有理数,展开序列是有限的,只要使用迭代关系计算即可得到展开序列。而任意无理数的展开序列都是无限的。第四章给出各类展开的误差和函数的定义,介绍它的一些基本性质,给出他们的介值性定理,计算他们的积分值并计算出其图的豪斯道夫维数。

目录

文摘

英文文摘

第一章 绪论

§1.1研究背景及意义

§1.2豪斯道夫测度及其维数

第二章 几类展开的介绍

§2.1 Lüroth展开

§2.2以P为基的展开

§2.3β-展开

§2.4连分数展开

§2.5本章小结

第三章 几类展开之间的联系

§3.1无理数的Lüroth展开序列和十进制展开序列

§3.2无理数的连分数和十进制展开

§3.3β-展开和连分数展开

§3.4本章小结

第四章 几类展开的误差和函数

§4.1 Lüroth展开的误差和函数

§4.2交错项Lüroth展开的误差和函数

§4.3连分数展丌的误差和函数

§4.4以P为基展开的误差和函数

§4.5β-展开的误差和函数

§4.6本章小结

结束语

参考文献

致谢

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