齐次树上任意随机场关于独立随机场的一类强偏差定理

摘要

树上随机场是随机过程理论在树—这一数学模型上的应用,它产生于信息理论的编码和译码问题。设随机过程{Xt,t∈T},其中的状态和状态序偶出现的频率是否遵从大数定律,直接影响到编译码方法的优劣,故这一领域一直是众多学者研究的重点。三十几年前诞生的”随机场”这一概率论与统计物理的交叉学科与其他概率物理分支,代表着当今数学与物理相互渗透的大潮流的一个重要侧面。随着信息论的发展,树图模型近年来引起了物理学,概率论和信息论界的广泛兴趣。Berger和叶中行研究了树图上某种平稳随机场的熵率存在性(见文[3]),之后叶中行与Berger又研究了树上PPG不变及遍历随机场的Shannon—McMillan定理(见文[4])。Benjamini和Peres引进了树指标马氏链的概念,且研究了其常返性和射线常返性(见文[1])。近年来,杨卫国研究了齐次树上可列齐次马氏链的强极限性质与齐次树上有限齐次马氏链的强大数定律和渐近等分性(AEP)(见文[5]),杨卫国和叶中行研究了齐次树上可列非齐次马氏链的强极限性质与齐次树上有限非齐次马氏链的强大数定律和渐近等分性(见文[6]),刘文和王丽英研究了关于Cayley树上任意随机场和马氏链场的强偏差定理(见文[2])。
　　 本文的主要目的是研究齐次树上任意随机场关于独立随机场的强偏差定理以及树上微分熵的一类强偏差定理。本文主要内容共分四章,第一章和第二章主要介绍了本文的研究背景和需要的基本知识、基本定理和引理,第三章和第四章是本文研究的主要成果。第三章主要研究了齐次树上任意随机场关于独立随机场的一类强偏差定理。主要通过引进熵密度偏差,把齐次树上任意随机场与独立随机场进行比较,通过构造函数的方法,建立了树图上任意随机场关于独立随机场的一类强偏差(也称小偏差)定理。第四章主要研究了连续型随机变量族的强偏差定理。我们引入渐近对数似然比,作为随机变量族相对于不同测度的差异的一种度量,证明中给出了将Laplace变换应用于微分熵强偏差定理的一种途径。

目录

文摘

英文文摘

第1章 绪论

1.1 研究背景

1.2 本文的研究方法和主要解决的问题

第2章 基本理论与概念

2.1 随机变量序列的基本收敛

2.1.1 依分布收敛

2.1.2 依概率收敛

2.1.3 几乎必然收敛(a.s.)

2.1.4 Lp收敛(平均收敛)

2.1.5 随机变量序列的一致可积性

2.2 熵的定义及基本概念

2.2.1 熵的定义和性质

2.2.2 联合熵,条件熵和微分熵

2.2.3 渐近均分性

2.3 微分熵的定义和性质

2.3.1 微分熵的定义

2.3.2 联合微分熵和条件微分熵

第3章 齐次树上任意随机场关于独立随机场的强偏差定理

3.1 引言与定义

3.2 主要结果及证明

第4章 关于树图上微分熵的-类强偏差定理

4.1 定义及引理

4.2 主要结果及证明

第5章 结束语

参考文献

致谢

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