一类非光滑电路系统的分岔及其控制

摘要

分段线性电路系统是非线性动力系统的重要组成部分,该系统在实际模型中相对比较容易建立,且在实际应用中广泛存在。由于分段所带来的非光滑特点,使得系统拥有丰富的动力学行为,对于其复杂动力学行为及其产生机理的研究一直是国内外关注的重点内容之一。
　　 本文首先探讨了具有分段线性特性的广义BVP电路系统随参数变化的复杂动力学演化过程,其非光滑分界面将相空间划分成不同的区域,分析了各区域中平衡点的稳定性,得到其相应的简单分岔和Hopf分岔的临界条件。给出了不同分界面处广义Jacobian矩阵特征值随辅助参数变化的分布情况,讨论了分界面处系统可能存在的分岔行为,分析了各种复杂振荡产生及相互之间转化的机理。指出当广义特征值穿越虚轴时可能引起Hopf分岔,导致系统由周期振荡转变为概周期振荡,而当出现零特征值时则导致系统的振荡在不同平衡点之间转换。针对系统的两种典型振荡行为,结合数值模拟验证了理论分析的结果。
　　 随后,我们将分段线性电路系统加以周期激励,给出了周期激励下拥有非光滑分界面的分段线性电路系统的局部解析解的具体形式,讨论了系统固有频率与外激励频率存在量级差异时出现的分岔行为,在此特定的参数情形下,系统包含有两种时间尺度,系统出现了周期簇发现象。论文对簇发产生的分岔机制以及可能存在的非光滑分岔进行了分析,揭示了簇发现象以及概周期振荡产生的机理。
　　 最后,讨论了关于分段线性电路系统的混沌控制问题。我们针对电路系统的分段线性的特性,在频域范围内,应用非线性系统的二分理论设计了混沌控制器。给出系统解的收敛或者发散的条件,通过求解线性矩阵不等式(LMI)得到混沌控制器,将其接到电路系统后,由数值模拟可以发现,混沌振荡消失了。但是,在实际电路系统中,其方程中的状态变量代表了通过电路的电压或者是电流。而我们在控制的过程中发现,有的状态变量是趋于无穷的,此时实际电路中的电路元件是存在很大风险的。所以我们改进了以上的控制器,以保证发散的解是不存在的。数值模拟说明了我们改进的控制器是有效的。