非线性切换系统的复杂动力学及其机理研究

摘要

切换系统动力学是非线性动力学的重要组成部分，它从动力学的角度揭示了切换系统的非线性特征，引起了国内外许多科学领域内众多科学工作者的高度重视，是当前非线性动力学领域的研究热点之一。本论文运用非线性动力学的分岔理论，非光滑动力学分析和数值模拟等方法，深入探讨了不同切换条件下非线性切换系统的动力学行为，并揭示了系统特殊振荡的产生机理。同时，基于Poincaré映射以及Floquet乘子理论，讨论了不同切换条件下切换系统分析的方法，并借此研究了时间切换系统以及时间状态混合切换系统随各种参数变化的动力学演化过程，探索了整个系统通往复杂运动的道路。本文的主要研究工作有以下几方面。
　　基于状态变量切换模式，建立了R(o)ssler振子和Chua's电路之间来回切换的状态切换系统数学模型。通过局部分析，分别给出了两个子系统参数空间诸如fold分岔、Hopf分岔等临界条件，进而考虑两子系统存在不同稳态解时通过状态切换连接下的复合系统的分岔特性，给出了诸如2T-focus/cycle型周期切换振荡、4T-focus/cycle周期切换振荡、混沌切换振荡等复杂振荡行为，并揭示了其相应的产生机理。指出系统的轨迹可以由切换点分割成不同的部分，分别受两个子系统的控制，而随着参数的变化，虽然子系统定性性质保持不变，但切换点数目成倍增加，导致系统由倍周期分岔序列进入混沌。同时，通过子系统平衡点相应特征值的分析，解释了系统存在振荡周期减少序列等现象。
　　基于时间切换模式，建立了两个Lorenz振子之间参数周期来回切换的时间切换系统数学模型。通过时间切换条件定义的局部截面以及子系统决定的局部映射，构造了整个时间切换系统的Poincaré映射，并根据多重打靶法和Runge-Kutta法计算得到Poincaré映射在给定参数下的不动点，对应于时间切换系统的各种对称和不对称周期振荡。借助于各子系统平衡态分析，揭示了各种周期振荡相应的产生机理。通过单个参数以及双参数分岔分析，指出切换系统的各种周期运动会经由鞍-结分岔，对称破缺分岔以及倍周期分岔等各种分岔通往混沌。此外，特别指出参数周期切换Lorenz系统的对称闭轨会经由鞍-结分岔后消失直接进入混沌振荡也会经由叉型分岔后失稳新产生一对非对称的同周期闭轨，进而这对非对称的周期闭轨就会各自经由倍周期分岔演化为混沌振荡。
　　基于时间和状态变量混合切换模式，建立了Duffing振子和van der Pol振子之间来回切换的时间状态混合切换数学模型。由局部截面和局部映射建立了整个时间状态混合切换系统的Poincaré映射，指出了由于状态切换条件导致系统周期解周期未知与时间切换周期解周期已知分析时的区别，并得到了其相应雅可比矩阵的形式表达式。通过求解Poincaré映射的不动点方程，确定了给定参数下切换系统周期解的位置，并计算得到其相应的Floquet乘子。随着参数的变化，根据Floquet乘子从不同的方向穿过单位元，得到了混合切换系统的双参数分岔曲线，将参数空间分割成具有不同吸引子的各个部分。研究表明，系统的周期解会经由倍周期分岔演化为混沌振荡，而fold分岔连接系统的周期3轨道和混沌运动。