一类分数阶非线性偏微分方程的精确解

摘要

分数阶微分方程常常被用于构造信号处理、振动及控制机器人、光学、热学等应用领域的数学模型。然而，对于分数阶微分方程的精确解的研究较少,到目前为止尚无统一的求解分数阶微分方程的方法。因此，研究分数阶微分方程的理论、性质以及计算方法，是一项很有意义的工作。
　　本研究介绍了Riemann-Liouville分数阶导数和改进的指数函数法以及改进的F-展开法，并分别利用这两种方法来求解分数阶KdV方程，分数阶(2+1)-维breaking soliton方程组,时-空分数阶BBM方程以及时-空分数阶 Quadratic Klein-Gordon方程。在求解方程的过程中，首先是结合修改的R-L分数阶导数定义，借助于行波变换,把分数阶非线性偏微分方程化成整数阶的非线性常微分方程的形式，再根据齐次平衡原理，借助于Mathematica软件求得方程的精确解，最后运用Mathematica软件给出了相应解的三维图，可以使精确解更加直观明了。研究结果说明了这两种方法对于解决一类分数阶非线性偏微分方程精确解问题具有很好的实用性和优越性。

目录

声明

1 绪 论

1.1 研究背景

1.2 本文主要内容

2 预备知识

2.1 Riemann-Liouville分数阶导数定义

2.2齐次平衡方法

2.3 改进的exp [-Φ(ξ)]-展开法

2.4 改进的F-展开法

3 改进的exp (-Φ(ξ))-展开法的应用

3.1 分数阶 KdV 方程的精确解

3.1.1时间分数阶 KdV 方程的精确解

3.1.2时间-空间分数阶 KdV 方程的精确解

3.2分数阶(2+1)-维breaking soliton 方程组的精确解

3.3本章小结

4 改进的F-展开法的应用

4.1时-空分数阶BBM方程的精确解

4.2时-空分数阶 Quadratic Klein-Gordon的精确解

4.3小结

5 总结和展望

参考文献

致谢

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