线性输运方程及非线性一阶双曲方程差分格式的收敛性

摘要

本文研究两类问题的有限差分方法.-类是带有不连续系数的线性输运方程，另-类是非线性一阶双曲方程.首先分析的是带有不连续系数的线性输运方程的显式差分格式.在离散过程中选择三角形网格而不是通常的矩形网格，并在奇、偶时间层建立不同的差分格式.在定义分片函数时，空间方向采用分段线性插值而时间方向采用分片常数的方法.我们证明了数值解是有界的，TVD(total variation decreasing)的.通过对数值解的有界性估计和空间、时间方向的平移估计，利用紧性原理证明了数值解在L1loc模下收敛于连续问题的唯-弱解，我们证明了带有不连续系数的线性输运方程的解存在唯-而且关于初值稳定，同时也给出了求解该问题的-个数值计算方法. 其次分析了非线性一阶双曲方程的显式差分格式.在离散过程中同样选择三角形网格，并在奇、偶时间层建立不同的差分格式.定义分片常数时，时间方向和空间方向都采用分片常数的方法.我们证明了数值解是有界的，TVD的.通过对数值解的有界性估计和空间、时间方向的平移估计，利用紧性原理证明了数值解在L1loc模下收敛于连续问题的弱解.理论结果表明，非线性一阶双曲方程的解存在而且关于初值稳定.同时说明本文提出的差分格式用来求解非线性一阶双曲问题是可行的. 最后给出了几个数值例子来验证本文的理论结果.数值结果表明，对带有不连续系数的线性输运方程和非线性一阶双曲方程，本文提出的格式计算方便而且比Lax-Friedrichs格式更有效。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引言

§1.1问题提出及研究状态

§1.2本文的主要工作

第二章线性输运方程

§2.1差分格式及收敛性结果

§2.2有界性和空间方向平移估计

§2.3时间方向平移估计

§2.4收敛性证明和唯一性结果

§2.5稳定性

第三章非线性一阶双曲方程

§3.1差分格式及收敛性结果

§3.2有界性和空间方向平移估计

§3.3时间方向平移估计

§3.4收敛性证明

§3.5稳定性

第四章数值试验

结论

致谢

参考文献