拟周期系统的约化及KAM理论的应用

摘要

本文应用KAM理论的技巧与方法，研究了以下的几个问题：
　　l、拟周期哈密顿系统的约化
　　考虑下面实二维非线性解析拟周期哈密顿系统
　　x1=Hx2，x2=-Hx1，其中H(x，t，ε)=1/2β(x12+x22)+F(x，t，ε)，β≠0，F是小扰动项，ε是小扰动参数。在没有任何关于ε的非退化条件的假设下，证明了对绝大多数充分小的扰动参数ε，通过一个拟周期辛变换，系统(1)可约化为一个具有平衡点的拟周期哈密顿系统，从而得到系统(1)有小的拟周期解。
　　2、有限光滑的拟周期系统的约化
　　考虑下面的线性系统
　　x=(A+εQ(t))x.(2)假设Q(θ)=Q(ωt)=Q(t)关于θ满足比较好的有限光滑的条件。非共振条件和非退化条件下，证明了对绝大多数充分小的ε，通过一个拟周期同胚变化，系统(2)可约化为一个常系数方程。
　　3、一类等变哈密顿系统的Liapunov中心定理
　　考虑了在平衡点附近，C∞等变哈密顿向量场的周期解的存在性和对称性。如果等变对称子S是反辛的并且S2=I，则平衡点包含在三个局部二维不变流形里。在其中一个流形里，包含一族单参数的对称周期解，而在另外二个流形里，每一个都包含一族单参数的非对称周期解。
　　4、近可积辛映射关于低维椭圆不变环面的保持性
　　在Russmann非退化条件下，证明了一类由生成函数生成的近可积辛映射关于低维椭圆不变环面的保持性。