近可积系统的不变环面以及拟周期系统的约化

摘要

本文主要利用KAM理论、Brouwer度理论和Banach不动点理论研究了近可积哈密顿系统的预给频率方向的不变环面的保持性、给定势能的非线性Schr(o)dinger方程在Dirichlet边界条件下的拟周期解的存在性、具有退化平衡点的周期系统在小扰动下周期解的存在性，以及二维线性拟周期系统在无非退化条件下的可约化性.主要内容如下:
　　第一章着重介绍哈密顿系统以及辛几何的基础概念以及重要理论，并给出了KAM理论的具体陈述.此外，介绍了有关周期系统、拟周期系统的可约化性的研究进展.第一章的结尾处，大致陈述了本文的主要工作，并阐释了创新点．
　　笫二章利用改进的KAM迭代框架得到了近可积哈密顿系统在满足Bruno非退化条件时不变环面的存在性，频率沿着预给丢番频率的方向.此外，这族不变环面构成了单参数的解析族．
　　第三章研究了实解析的哈密顿系统H=<ω(ξ)，I>+Ω0z(z)+P（θ，I，z，(z);ξ)，在无非退化条件下椭圆型不变环面的扰动．假设频率ω0和Ω0满足下列非共振条件:|+l·Ω0|≥α/Ak，（k，l）∈Z，这里，Ak=1+|k|τ，τ≥n+1．并且，频率映射ω(ξ)在ω0∈D处具有非零的Brouwer度.本文通过引入外部参数来调节KAM步骤中频率的漂移以及处理切向频率与法向频率的共振.最后拓扑度的假设使得参数化的系统的结果能应用到原系统上.
　　在第四章中，考虑了一类给定解析势函数的Dirichlet边界条件下的非线性Schr(o)dinger方程.本文应用了Sturm-Liouville算子特征值的“局部化”性质以及一些技巧得到了Birkhoff规范型，从而给出了参数化的无穷维哈密顿系统．最后KAM理论保证了系统有解析的线性稳定的拟周期解．
　　第五章研究一类高维的具有退化平衡点的周期系统的可约化性．考虑n-维实解析的周期系统的扰动:(x)=N(x)+h(x，t)+f(x，t)，其中f(x，t)是小扰动，N(x)=（x2l1+11,…，x2ln+1n）T，l1，…，ln是非负整数．h=(h1，…，hn)T表示高阶项，满足hj=O(x2lj+2 j)，x→0,j=1,…，n.本文引入外部参数并应用Banach空间不动点定理，将引入外部参数后的系统约化成一个具有零平衡点的周期系统.最后，利用拓扑度理论得到了原系统的周期解.
　　在第六章中，研究了二维线性拟周期系统(x)=(A+εQ(t，ε))x，x∈R2，在没有非退化条件下的约化问题.设λ1和λ2是A的特征值.假设(ω，λ1,λ2)满足非共振条件{|≥α0/|k|(τ)|i+λ2-λ1|≥α0/|k|(τ)for all0≠k∈Zr，其中，α0＞0，τ＞r-1.则或者对所有的参数ε∈(0，ε0)系统是可约化的;或者存在一个正Lebesgue测度的Cantor子集E(C)(0，ε0)使得系统对ε∈E是可约化的.此外，本文给出了一类特殊的高维线性拟周期系统以及一类特殊的高维非线性拟周期系统在无非退化条件下的约化结果，作为对二维情形的应用.

目录

声明

摘要

符号及注记

第一章 前言

§1．1 哈密顿系统和KAM理论

§1．1．1 哈密顿系统

§1．1．2 经典KAM理论

§1．1．3 可积系统低维环面的保持性

§1．2 周期和拟周期系统的约化

§1．2．1 周期系统的相关约化理论

§1．2．2 拟周期系统的有关约化结果

§1．3 本文的工作

§1．3．1 主要研究内容

§1．3．2 主要创新点

第二章 近可积哈密顿系统预给频率方向的不变环面

§2．1 引言

§2．2 主要结果

§2．3 主要结果的证明

第三章 一类哈密顿系统预给频率方向的椭圆型低维环面

§3．1 引言

§3．2 主要结果

§3．3 主要结果的证明

§3．4 KAM步骤

§3．5 迭代和收敛

第四章 给定势能的拟周期驱动的薛定谔方程的拟周期解

§4．1 引言

§4．2 哈密顿框架以及KAM类型定理

§4．3 Birkhoff规范型

§4．3．1 扰动的正则性

§4．3．2 Birkhoff规范化

§4．4 主要定理的证明

第五章 具有退化平衡点的非线性周期系统的扰动

§5．1 引言

§5．2 主要结果

§5．3 主要结果的证明

§5．4 参数化系统的可约化性

第六章 一类二维拟周期系统在无非退化条件下的可约化性

§6．1 引言与主要结果

§6．2 证明的思路与预备

§6．2．1 证明思路

§6．2．2 同调方程

§6．2．3 非退化条件

§6．2．4 矩阵的标准型

§6．3 非退化的情形

§6．4 退化的情形

§6．5 定理6．1．1的应用

§6．5．1 特殊的高维线性拟周期系统的约化

§6．5．2 定理6．5．1和定理6．5．2的证明

参考文献

附录

博士期间撰写和发表的论文

致谢