时间分数阶偏微分方程高阶数值解法

摘要

本文主要研究几类时间分数阶扩散方程的高精度数值解法并给出相应的误差估计式.
　　首先，研究一维时间分数阶反常低扩散方程的高阶数值算法，并给出相应的先验估计式.基于带权和位移的Griinwald-Letnikov算子[48，64]，选取位移(p，q，r）=（0，-1，-2），利用Riemann-Liouville分数阶导数与Caputo分数阶导数在一定的光滑条件下等价，推导出一种新的三阶逼近公式来离散Caputo分数阶导数.空间方向结合平均算子技术，对方程构造了一种新的紧差分格式（称为GL3差分格式）.利用离散能量分析方法，严格证明了GL3差分格式无条件稳定和收敛.
　　其次，讨论二维时间分数阶反常低扩散方程的高阶数值算法.遵循一维时间分数阶反常低扩散方程有限差分格式的构造技巧，对二维问题建立时间和空间均为高阶的差分格式，并分析了差分格式在L1(L∞)范数意义下是无条件稳定和收敛的.对于二维情形，由于H1半范不能嵌入到无穷模，因此，二维问题的理论分析技巧与一维问题有着本质的区别.同时，通过添加小量项，对二维时间分数阶反常低扩散方程建立紧交替方向隐式差分格式（称为紧ADI格式），通过数值实验验证了紧ADI格式的收敛阶和有效性.
　　再次，研究时间分数阶扩散波方程的有效差分格式.在方程两端作用Riemann-Liouville分数阶积分算子，将原方程转化为积分-微分方程.利用线性插值思想，推导出一种新的二阶离散公式逼近Riemann-Liouville分数阶积分算子，并对等价方程建立高阶的数值格式.通过数值算例验证该差分格式的收敛阶和有效性.
　　最后，研究带第一类Dirichlet边值条件的四阶分数阶扩散方程的空间高精度的数值算法.在点x0，x1，x2，x3处和点xM，xM-1，xM-2，xM-3处分别对uxx(x，t)进行线性组合，推导出第一类Dirichlet边值条件的具有四阶精度的离散公式，空间方向内部点作用平均算子，用L1离散公式逼近时间分数阶导数，对方程建立空间一致四阶的差分格式.利用数学归纳方法和离散能量分析方法证明差分格式的稳定性和收敛性.

目录

说明

摘要

第一章 绪论

1．1 分数阶微分算子的定义及性质

1．2 研究背景及现状

1．3 本文研究动机及主要工作

第二章 一维时间分数阶反常低扩散方程的高阶紧差分格式

2．1 引言

2．2 高阶紧差分格式的建立

2．3 差分格式稳定性和收敛性分析

2．4 数值实验

2．5 结论

第三章 二维时间分数阶反常低扩散方程的高阶紧差分格式

3．1 引言

3．2 高阶紧差分格式的建立

3．3 差分格式稳定性和收敛性分析

3．4 紧交替方向格式

3．5 数值实验

3．6 结论

第四章 时间分数阶扩散波方程的高阶紧差分格式

4．1 引言

4．2 Riemann-Liouville积分算子oD-tαf(t)的二阶离散公式

4．3 高阶紧差分格式的建立

4．4 数值实验

4．5 结论

第五章 带第一类Dirichlet边值条件的四阶分数阶扩散方程的高阶紧差分格式

5．1 引言

5．2 高阶紧差分格式的建立

5．3 高阶紧差分格式稳定性和收敛性分析

5．4 数值实验

5．5 结论

第六章 总结与展望

参考文献

附录

致谢