时间空间分数阶BlocH-Torrey方程的高阶数值解法

摘要

分数阶微积分最近十多年来越来越多地引起人们的关注.它可以成功地描述工程、物理、化学、生物以及经济学等领域的许多现象.由于分数阶导数固有的非局部属性，在最近几年，它己被证明可以用来描述一些与记忆和遗传有关的现象或过程.这些重要的应用促使我们努力的寻求高效、稳定并且易于执行的算法来求解分数阶微分方程.本文用有限差分方法研究了时间空间分数阶Bloch-Torrey方程的高精度的数值解法，并证明所建立的算法的稳定性和收敛性.
　　文章分为两大部分.
　　第一部分，研究了一维时间空间分数阶Bloch-Torrey方程的两个高阶数值算法，并给出相应的先验估计式.首先，利用加权位移的Grünwald-Letnikov算子来离散Caputo分数阶导数，得到一个关于时间分数阶导数的三阶逼近;对于空间方向的分数阶导数，利用中心差商公式来离散Riesz分数阶导数，得到了空间方向的二阶逼近.这样对方程构造了高阶差分格式A，使其时间方向和空间方向在L1(L2)范数下分别达到三阶和二阶精度.利用离散的能量分析方法，严格证明了该差分格式的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性，并且给出了数值算例验证了数值解的精确性和差分格式的有效性.然后，对于时间方向的分数阶导数仍采用刚才提到的离散方法来离散;对于空间方向的分数阶导数，用中心差商公式来离散Riesz分数阶导数在三点的加权值，得到空间方向的一个四阶逼近.这样对方程构造了高阶差分格式B，其在时间和空间方向达到三阶和四阶精度.同样，我们利用离散的能量分析方法，严格证明了高阶差分格式B的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性，并且给出了数值算例验证了数值解的精确性和差分格式的有效性.第二部分，研究了二维时空分数阶Bloch-Torrey方程的两个高阶的数值解法，并给出相应的先验估计式;然后给出四个交替方向的差分格式.首先，对于时间方向和空间方向的分数阶导数，采用一维情形时得到差分格式A时用到的离散技巧，分别利用三阶逼近公式来离散Caputo分数阶导数、利用二阶逼近公式来离散Riesz分数阶导数;这样对二维问题构造了高阶差分格式C，使其在时间方向和空间方向在L1(L2)范数下分别达到三阶精度和二阶精度.利用离散能量分析方法，严格证明了所建立的高阶差分格式C的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性，并且给出了数值算例验证了数值解的精确性和差分格式的有效性.然后，对空间方向的分数阶导数的离散，采用一维情形时得到差分格式B时用到的离散技巧，得到了空间方向的四阶逼近.这样对二维问题构造了高阶差分格式D，使其在时间方向和空间方向在L1(L2)范数下分别达到三阶精度和四阶精度.利用离散能量分析方法，严格证明了高阶差分格式D的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性，并且给出了数值算例验证了数值解的精确性和差分格式的有效性.最后对二维时空分数阶Bloch-Torrey方程建立了4个ADI求解格式.ADI格式虽然可以使问题得到简化，但时间方向的精度分别达到α阶或2α阶，比高阶差分格式C和D的精度降低了.因此，我们只给出了ADI求解格式，在理论上没有进一步的研究.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 分数阶导数的定义及性质

1．2 分数阶导数的数值逼近

1．3 研究背景及现状

1．4 本文的研究动机及主要工作

第二章 一维时间空间分数阶Bloch-Torrey方程的高阶数值方法

2．1 引言

2．2 预备知识

2．3 高阶差分格式A

2．3．1 差分格式的建立

2．3．2 差分格式解的唯一性、稳定性和收敛性

2．3．3 数值算例

2．4 高阶差分格式B

2．4．1 差分格式的建立

2．4．2 差分格式解的唯一性、稳定性和收敛性

2．4．3 数值算例

第三章 二维时间空间分数阶Bloch-Torrey方程的高阶数值方法

3．1 引言

3．2 预备知识

3．3 高阶差分格式C

3．3．1 差分格式的建立

3．3．2 差分格式解的唯一性、稳定性和收敛性

3．3．3 数值算例

3．4 高阶差分格式D

3．4．1 差分格式的建立

3．4．2 差分格式解的唯一性、稳定性和收敛性

3．4．3 数值算例

3．5 交替方向差分格式

3．5．1 时间α阶空间二阶的ADI格式

3．5．2 时间2α阶空间二阶的ADI格式

3．5．3 时间α阶空间四阶的ADI格式

3．5．4 时间2α阶空间四阶的ADI格式

第四章 总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间完成的工作及获得的荣誉

致谢