求解随机延迟微分方程两类数值格式的收敛性和稳定性

摘要

随机延迟微分方程在经济学、生物学、环境科学等领域都有着广泛的应用.与It(o)型的随机延迟微分方程相比，Stratonovich型的随机延迟微分方程具有链式法则并且与布朗运动谱近似后的方程具有相容性等优点，而目前对于这类方程研究较少.本文集中于研究求解Stratonovich型随机延迟微分方程两类数值方法的稳定性和收敛性.
　　首先，对于求解随机延迟微分方程的数值方法及其研究发展进行综述，并在此基础上分析研究现状，导出本文的主要工作.
　　其次，介绍随机延迟微分方程的基本理论，给出了论文中涉及的基本定义和定理，并给出了随机延迟微分方程零解均方渐近稳定的条件.
　　本论文的主要研究工作分为以下几个部分:
　　第一，Midpoint格式是一个全隐式的数值方法,目前关于这类方法的完整收敛性分析还不多见.我们首先研究了这一格式的局部截断误差，并由此求得了它的全局误差，证明了Midpoint格式在求解随机延迟微分方程时是0.5阶强收敛的.
　　第二，我们针对Stratonovich型的线性随机延迟微分方程和方程组，讨论了Predictor-Corrector格式和Midpoint格式的均方渐近稳定性.证明了当步长h小于某个给定值时，Predictor-Corrector格式是均方渐近稳定的;Midpoint格式是无条件均方渐近稳定的.在此基础上，我们还比较了本文中研究的两种方法与其它几种常用数值方法的稳定域.对于满足单边Lipschitz条件的非线性随机延迟微分方程，我们研究了Predictor-Corrector格式的均方渐近稳定性，给出了稳定的充分条件.
　　在数值算例部分，通过求解随机延迟微分方程和方程组，进一步验证了理论结果的正确性.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 随机延迟微分方程的应用

1．2 研究背景及现状

1．3 本文的主要工作

第二章 随机延迟微分方程的基本理论

2．1 引言

2．2 解的存在性和唯一性

2．3 解的稳定性

第三章 求解随机延迟微分方程的Midpoint格式的收敛性

3．1 引言

3．2 Midpoint格式的收敛性

第四章 求解随机延迟微分方程数值方法的稳定性

4．1 引言

4．2 两种数值方法的线性稳定性分析

4．2．1 解析解的均方渐近稳定性

4．2．2 Predictor-Corrector格式的均方渐近稳定性

4．2．3 Midpoint格式的均方渐近稳定性

4．3 数值方法稳定域比较

4．3．1 求解随机延迟微分方程数值方法的稳定域

4．3．2 求解随机延迟微分方程组数值方法的稳定域

4．4 求解非线性SDDEs的Predictor-Corrector格式的稳定性

4．5 数值算例

致谢

总结与展望

参考文献