求解具有非光滑解的时间分数阶微分方程的数值方法

摘要

近几十年来，分数阶微积分越来越广泛地用于刻画存在反常扩散现象的物理系统的变化规律.分数阶微分方程也成为了描述土壤中污染物传播、粘弹性力学、海水入侵淡水层等诸多应用问题的重要数学模型.
　　本文讨论具有非光滑解的时间分数阶微分方程的数值求解方法.我们应用Lubich型的数值积分离散方法，直接近似Caputo型分数阶导数，并对非光滑解进行校正，即通过在格式中添加适当的校正项，精确地求解方程解的非光滑性部分，从而达到较好的精度和收敛阶.对于非线性项我们分别采用外推方法和Taylor展开法获得显式近似，最终得到两类隐-显式格式.我们在理论上给出了两类数值格式的收敛阶和稳定性，并给出了两类方法的稳定域.
　　本文还进行了丰富的数值模拟.通过求解带有解析解或不带解析解的非线性时间分数阶微分方程，验证所提出格式的有效性.除此之外，我们还建立了求解非线性多阶分数阶微分方程的数值方法，并通过数值实验展示了格式的有效性.

目录

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摘要

第一章 引言

§1．1 课题的研究背景

§1．2 分数阶导数的基本定义

§1．3 时间分数阶导数的近似方法

§1．4 本文主要工作

第二章 数值格式的建立

§2．1 Caputo型分数阶导数的离散

§2．2 基于外推方法的隐显式数值格式

§2．3 基于Taylor展开方法的隐显式数值格式

第三章 数值格式的稳定性与收敛性

§3．1 稳定性分析

§3．2 收敛性分析

第四章 数值算例

§4．1 求解具有已知非光滑解的非线性时间分数阶微分方程

§4．2 求解具有已知非光滑解的多阶非线性时间分数阶微分方程

§4．3 求解未知解析解的非线性时间分数阶微分方程

§4．4 与改进的WSGD校正格式的比较

参考文献

致谢