一维热传导方程的热源反演问题

摘要

热传导方程的非齐次项在热传导过程中具有重要意义，它可以看成是该传导过程的热源项之一。若非齐次项已知，给定热传导过程的边界状态以及初始温度分布，求解该传导过程的温度的分布就是热传导过程的正问题求解。基于标准的偏微分方程理论，这样的过程存在唯一的解，并且解对已知的热源是稳定的。然而在实际问题中，热传导方程中的非齐次项、热传导率、热传导过程的初始温度等都有可能是未知的，这就需要我们利用热传导过程的某些额外的附加信息来确定热传导过程中的上述未知成份，进而获得方程的解。这类问题叫做热传导方程的反问题。在自然科学和工程上，热传导方程源项未知是一类重要的反问题。由于源项位于整个介质的内部，一般很难实际测量出来。一个工程上可行的方法就是利用介质内部或边界可以测量到的温度场作为附加值，借助于热传导模型来估计内部的热源分布，进而确定整个介质内部的温度分布。
　　本文考虑如下一维空间的有限长度介质上的热传导模型:{ut-uxx=f(x，t)g(x，t)，(x，t)∈QT，u(x，0)=0，x∈Ω，u（0，t)=0，u（l，t）=0，0＜t≤T，其中，QT={(x，t)|0＜x＜l，0＜t≤T}，Ω={x|0≤x≤l}.在此模型中，g(x，t)为已知函数，而未知源项f(x，t)为以下三种函数形式:仅依赖于时间变量、仅依赖于空间变量、既依赖于时间变量又依赖于空间变量。本文考虑的反问题是分别通过非局部测量数据ψ(t)=∫l0ω(x)u[f](x，t)dxψ(x)=∫T0ω(t)u[f](x，t)dtΨj(t)=∫l0ωj(x)u[f](x，t)dx，j=1，…，N来重建未知源项f(t)，f(x)，f(x，t)。与已有大量研究的给定逐点附加测量数据的反问题相比，本文考虑的积分形式的输入数据实际上是温度场的某种带权平均，更符合工程实际。
　　本文由以下五部分内容构成:
　　第一章对热传导反问题的背景及已有的研究工作做了一个简单的归纳，并在此基础上叙述了本文的研究目的和主要研究内容。
　　第二章介绍了在求解线性反问题时需要的一些预备知识，这为我们考虑热传导方程源项重建这一线性反问题提供了理论基础。
　　第三章分别考虑三种不同形式的源项函数的重建问题。对于源项仅依赖于时间变量以及仅依赖于空间变量的未知函数形式，我们证明了反问题解存在唯一性、解的条件稳定性、近似正则化解的收敛性并且给出了一种近似正则化解的正则化参数的选取方案。对于源项既依赖于时间变量又依赖于空间变量的一般的函数形式，此时原反问题的解没有唯一性，对利用多个积分型测量数据的反问题，我们证明了正则化泛函极小元的存在唯一性以及泛函的收敛性，并且分析了非局部测量值的个数对于源项反演的影响。
　　由于未知源函数依赖于时间变量以及仅依赖于空间变量的两种情况可以看成是f(x，t)的特殊形式，而且我们的数值重建方法是基于Tikhonov正则化泛函的优化问题，因此在第四章我们建立了关于求解f(x，t)的Tikhonov正则化泛函的迭代算法。在数值实现上，将反问题转化为最优化问题，证明了目标泛函Jγ(f)关于源项f是Frechét可导的。通过构造伴随问题可以得到泛函Jγ(f)关于源项f的梯度，采用共轭梯度法反演源项。具有单变量的未知函数f的前两种形式的处理和这里是一样的。对本章提出的正则化方案，我们分别就三种不同形式的源项进行数值试验，数值结果是令人满意的。
　　第五章我们对本文的研究工作进行了小结，并给出了一些需要进一步研究的问题。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 热传导反问题的背景

§1．2 热传导反问题已有的工作

§1．3 本文的主要工作

第二章 预备知识

§2．1 一般的正则化理论

§2．2 Tikhonov正则化方法

§2．3 条件稳定性和正则化参数的选取

第三章 热源反演问题

§3．1 源项f仅依赖于时间变量

§3．1．1 反问题解的唯一性和条件稳定性

§3．1．2 近似正则化解的收敛性

§3．2 源项f仅依赖于空间变量

§3．2．1 反问题解的唯一性和条件稳定性

§3．2．2 近似正则化解的收敛性

§3．3 源项f既依赖于时间变量又依赖于空间变量

§3．3．1 问题的正则化提法及性质

§3．3．2正则化解的收敛速度

第四章 数值算法及算例

§4．1 梯度算子和迭代算法

§4．2 正问题的数值离散方案

§4．3 反问题实现的数值算例

第五章 结束语

致谢

参考文献