基于POD方法的两类波动方程向后欧拉有限元降维格式

摘要

在物理、工程、医学、经济等科学研究中，遇到的很多问题都是用偏微分方程来表示，为了得到有用的数据和预测结果，需要对其进行求解。但是绝大多数偏微分方程的解很难以实用的解析形式来表示，于是偏微分方程的数值解法就成了求解偏微分方程的重要手段，在一定程度上弥补了这一问题的不足。然而数值方法也有其局限性，在求解复杂的偏微分方程问题的时候，无论是多么好的离散化格式，都需要很多的自由度，从而在内存和计算上付出很高的代价。因此，在保证方程的数值解具有足够高精度的情况下，简化计算量、截断误差的控制、节省运算时间和降低内存要求就成为了很有必要的研究问题。降维方法就是解决这一问题的有效方法之一，其中特征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition)方法是大家比较熟悉的一种降维方法，已成功的用于对复杂系统模型的降维。特征正交分解方法的实质就是对物理过程进行低维近似描述，最优的逼近已知数据，从而达到减化计算、节省计算时间和降低内存的目的。
　　在本文主要研究了如下两个方面的内容:
　　首先，主要把特征正交分解方法应用BBM-Burgers方程通常的欧拉有限元格式，为了克服BBM-Burgers方程通常的欧拉有限元格式计算量大的缺点，我们在有限元解中抽取了瞬像集合，然后用POD基张成的子空间，取代了有限元格式的有限元空间，将维数较高的欧拉有限元格式简化为维数较低且具有足够高精度的POD向后欧拉有限元格式。并给出了降维后的欧拉有限元误差估计。
　　其次，阐述了如何构造基于特征正交分解方法的Rosenau-RLW方程通常的欧拉有限元格式，简化其为一个计算量很少但具有足够高精度的POD向后欧拉有限元格式，并给出了简化后的有限元误差估计。POD向后欧拉有限元格式比通常的欧拉有限元格式更有效。

目录

声明

摘要

第一章 引言

第二章 BBM-Burgers方程的降维模型

2．2 BBM-Burgers方程通常的欧拉有限元格式

2．3 基于BBM-Burgers方程的POD基的生成

2．4 BBM-Burgers方程基于POD方法的简化欧拉有限元格式及其误差估计

第三章 Rosenau-RLW方程的降维模型

3．1 Rosenau-RLW方程简介

3．2 Rosenau-RLW方程通常的欧拉有限元格式

3．3 基于Rosenau-RLW方程的POD基的生成

3．4 Rosenau-RLW方程基于POD方法的简化欧拉有限元格式及其误差估计

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文成果

致谢