杨-巴克斯特方程在拓扑物理中的应用

摘要

自从杨振宁和R.J.Baxter分别于1967年与1972年创建了量子杨-巴克斯特方程(简称QYBE)以来，量子可积模型方面的研究取得了很大进展，特别是V.G.Drinfeld所建立的Yangian和量子群理论对物理中的量子完全可积模型的对称性研究提供了强有力的数学工具。经过几十年的发展研究，目前，量子杨-巴克斯特方程、Temperley-Lieb代数及拓扑基已经被应用到量子信息和量子计算领域。本论文主要将拓扑基和各类物理模型，例如XXX链模型联系起来，探究了拓扑基在这些系统中的特殊物理性质;提出了Temperley-Lieb代数生成元的高维构造方法;同时研究了拓扑参数d和量子纠缠的关系;量子杨-巴克斯特系统中量子纠缠以及Berry几何相的物理性质，通过这些研究，有助于将量子杨-巴克斯特方程这个处理非线性量子系统可积问题的宏大理论更有效的应用到相关物理学的各个领域，具有积极的意义。本论文共包括六章，其中工作主要是第二章至第六章。
　　第一章简单介绍了本文的研究背景，研究的重要性，回顾了量子纠缠，Berry几何相，量子杨-巴克斯特方程和拓扑基的发展历程以及研究现状，并且给出了两体纠缠度量的公式及其基本性质，Berry几何相的简略推导。
　　第二章成功的将拓扑基和物理模型，例如XXX模型建立了联系。也就是通过Temperley-Lieb代数的生成元构造出相应的哈密顿量，进而使拓扑基成为哈密顿量的本征态，探究拓扑基在不同物理链模型中具有的特殊物理性质。结果表明当拓扑参数d=2时，拓扑基在对应的XXX链模型中具有的的特殊物理性质为:这个系统的自旋单态和能量单态都落在了拓扑基上。当拓扑参数d=√2时，得到了一套正交完备的并且纠缠都是最大值的拓扑基实现，这套基可以实现量子传输。拓扑基在其相应的自旋链模型中具有的特殊物理性质为:不管该系统是顺磁的还是反磁的，能量基态都是二重简并的，并且基态都落在了拓扑基上。
　　第三章系统的提出了n2×n2的、满足Temperley-Lieb代数的、对应单d=√n的矩阵U的构造方法。用这个方法，给出了9×9的、满足Temperley-Lieb代数的、对应单圈d=√3的矩阵U的具体表示，它是很有意义的:它可以被看作应用到量子计算，特别是拓扑模型方面非常重要的例子，在量子信息方面有一定的价值。同时还研究了相应的杨-巴克斯特系统的量子纠缠。
　　第四章研究了拓扑中最重要的拓扑参数d和纠缠的关系。结果表明当d=n时，由两个n维的量子系统构成的投影态都是最大纠缠态，并且相应的Temperley-Lieb代数的生成元U矩阵都是最大矩阵。当d≠n时，通过研究n=2和n=3的情况，发现当d→+∞时，投影态和相应的U矩阵的纠缠都是趋于0的。然后研究了一个杨-巴克斯特系统的热纠缠和纠缠突然死亡。热纠缠的结果表明:拓扑参数d不仅能影响临界温度Tc，还能影响这个系统取得的最大纠缠值。而且还发现拓扑参数d对纠缠突然死亡也有很大的影响。
　　第五章研究了9×9的杨-巴克斯特系统中的量子纠缠和Berry几何相。首先构造了一个满足Heck代数关系的9×9的M矩阵。通过杨-巴克斯特化方法，得到了一个9×9的、杨-巴克斯特方程的幺正解(R)（θ，(Ψ)1，(Ψ)2），此解在量子信息和量子纠缠中是非常有意义的:借助幺正的局域变换，通过R(θ，(Ψ)1，(Ψ)2)，任何纯的两个三维子系统形成的纠缠态都能生成。然后通过(R)矩阵构造了相应的哈密顿量，并研究了该杨-巴克斯特系统的Berry几何相。结果表明当参数(Ψ)1=(Ψ)2时，这个哈密顿量算符能够借助三套SU(2)算符表示出来，并且能够得到三个震荡哈密顿量。在这个框架下，能够很好的解释berry几何相。
　　第六章研究了杨-巴克斯特系统中的热纠缠。利用并发度(Concurrence)作为纠缠度量，对构造的新的杨-巴克斯特系统的热纠缠进行了研究，结果表明两相邻自旋的z分量的相互作用参数g对系统的热纠缠有很大的影响。它不仅能够影响临界温度Tc，还能影响临界磁场强度Bc。
　　最后为全文的总结与展望。

目录

声明

摘要

引言

1．1 量子力学和量子信息理论的提出与发展

1．2 量子纠缠

1．2．1 量子纠缠的定义

1．2．2 量子纠缠的度量

1．3 Berry几何相

1．3．1 Berry几何相的提出与发展

1．3．2 绝热循环演化和Berry相

1．4 杨-巴克斯特方程(简称YBE)的提出和发展

1．5 拓扑基的由来及研究现状

1．6 本文研究内容和章节安排

2 拓扑基和相应的的物理模型

2．1 拓扑参数d=2时对应的拓扑基和相应的物理模型

2．1．1 一套正交完备基和Temperley-Lieb矩阵表示

2．1．2 XXX链模型的图形解和拓扑基

2．2 拓扑参数d=(√2)时对应的拓扑基和相应的物理模型

2．2．1 另外一套正交完备基和Temperley-Lieb矩阵表示

2．2．2 图形解和拓扑基

3 Temperley-Lieb代数生成元的构造方法和杨-巴克斯特系统里的纠缠

3．1 Temperley-Lieb代数生成元的构造方法

3．2 一个9×9的、对应d=(√3)的U矩阵表示

3．3 幺正的(R)矩阵和纠缠

4 拓扑参数和纠缠之间关系的研究

4．1 Temperley-Lieb代数生成元的构造

4．2 拓扑参数d和量子纠缠之间的关系

4．2．1 当拓扑参数d=n时

4．2．2 当拓扑参数d≠n时

4．3 拓扑参数和杨-巴克斯特系统的热纠缠的关系

4．4 拓扑参数和杨-巴克斯特系统的纠缠突然死亡的关系

5 9×9的杨-巴克斯特系统的纠缠和Berry几何相

5．1 杨-巴克斯特方程的幺正解

5．2 杨-巴克斯特系统的纠缠

5．3 杨-巴克斯特系统的哈密顿量和本征态

5．4 Berry几何相

5．4．1 谱参数(υ)1=(υ)2时

5．4．2 谱参数(υ)1=-(υ)2时

5．4．3 谱参数(υ)1=2(υ)2时

5．4．4 谱参数(υ)1=-2(υ)2时

6 杨-巴克斯特(R)矩阵构造的两体系统的热纠缠

6．1 杨-巴克斯特方程的(R)矩阵

6．2 哈密顿量和本征态

6．3 系统的热纠缠

结论

参考文献

致谢

在学期间公开发表论文及著作情况