几类随机泛函微分方程解析解研究与数值分析

摘要

随机泛函微分方程可被视为确定性泛函微分方程及随机微分方程的综合与推广，由于用该方程描述的系统兼顾了环境噪声及延迟因素的影响，往往能更真实地模拟实际问题，因此被广泛应用于化学、物理、生态学、医学、金融、神经网络及控制论等各领域的系统建模中，由于很难获得非线性随机泛函微分方程解析解的显式表达式，构造合适的数值算法对相应的解过程进行数值模拟就成了既具理论意义又有应用价值的课题.本文旨在对几类随机泛函微分方程的解析解性质及数值方法的收敛性、稳定性等作初步探讨. 全文由七章构成. 第一章简要综述了随机泛函微分方程理论分析及数值分析的研究现状，扼要介绍了本文的主要工作。 第二章介绍了概率论、随机过程以及随机微分方程等方面的一些基本知识. 第三章构造了数值求解非线性中立型随机延迟微分方程的一类漂移隐式一步格式，研究了这类方法的均方收敛性，得到了相容性和收敛性的关系。 第四章构造了数值求解线性随机延迟微分方程的分步向后Euler方法，研究了该数值方法的均方收敛性、MS-稳定性和GMS-稳定性.我们证明了在适当条件下，该数值方法是1/2-阶均方收敛的，得到了该数值方法MS-稳定及GMS-稳定的充分条件.数值试验也验证了所获得的分析结果。 第五章考虑如下非线性中立型随机比例方程首先，我们证明了在Lipschitz条件及线性增长条件下该方程存在唯一强解.其次，我们研究了数值求解上述方程的半隐式Euler方法的均方收敛性，证明了这类方法的均方收敛阶为1-2，并给出了相应的数值试验。 第六章研究非线性中立型随机比例方程在无穷区间[0.∞）上解析解的性质.得到了解析解p-阶矩Lyapunov指数以及样本Lyapunov指数的上界估计。 第七章研究非线性随机比例方程带线性插值的半隐式Euler方法的收敛性，证明了带线性插值的半隐式Euler方法的均方收敛阶为1/2，给出了数值试验。

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第一章绪论

1.1研究背景

1.2随机泛函微分方程的理论研究

1.3随机泛函微分方程的数值分析

1.4本文主要工作

第二章基本知识

2.1概率论的若干基本知识

2.2随机过程的若干基本知识

2.3随机微分方程的若干基本知识

2.4符号说明

第三章 中立型随机延迟微分方程一步方法的均方收敛性

3.1引言

3.2中立型随机延迟微分方程

3.3一步格式的均方收敛性

3.4实例分析

第四章线性随机延迟微分方程的分步向后Euler方法

4.1引言

4.2准备知识

4.3分步向后Euler方法的收敛性

4.4分步向后Euler方法的稳定性

4.5数值试验

第五章非线性中立型随机比例方程半隐式Euler方法的均方收敛性

5.1引言

5.2非线性中立型随机比例方程

5.3半隐式Euler方法的均方收敛性

5.4数值试验

第六章中立型随机比例方程解的指数估计

6.1引言

6.2问题陈述

6.3主要结果

第七章 随机比例方程带线性插值的半隐式Euler方法的均方收敛性

7.1引言

7.2随机比例方程

7.3带线性插值的半隐式Euler方法的均方收敛性

7.4数值试验

参考文献

致谢

攻读学位期间主要的研究成果