具有非线性发生率和非定常人口的传染病传播模型分析

摘要

传染病历来是人类的大敌，利用动力学方法建立传染病传播的数学模型，并通过模型对传染病进行定性和定量的分析与研究已经取得一些成果，主要集中在判定、预测疾病发展趋势上。本文研究具有非线性发生率和非定常人口的传染病传播网络模型。在本文考察的模型中，非定常人口因素使得传染病传播模型表现为网络大系统，非线性发生率又使得通常的李雅普诺夫分析显得较为复杂。基于这样的观察，本文提出一种将稳定性判定和平衡点类型判定分开处理的方法，内容如下:
　　 1.将协调系统理论与状态近似估计方法相结合，首先运用协调系统理论整体地判定平衡点的全局渐近稳定性，其次使用状态近似估计的方法判定平衡点的类型，即是零平衡点或非零平衡点，得到的判据都用系统参数明确表达，易于验证。采用状态估计的办法还便于得到某些定量估计，如定量估计康复率对疾病的影响;
　　 2.将协调系统理论与Driessche阈值理论相结合，首先运用协调系统理论整体判定平衡点的全局渐近稳定性，其次使用Driessche的阈值理论判定平衡点的类型，得到模型的全局阈值条件。此方法避免了构造李雅普诺夫函数带来的困难。值得强调的是，Driessche阈值理论只能得到零平衡点的局部稳定判据，但是当其与协调系统理论结合时，本文得到的是平衡点的全局稳定判据;
　　 3.本文最后给出上述理论方法的一个实际应用，即将其应用在种群迁移中存在路途感染的两斑块模型中，证明模型的全局渐近稳定性，给出判定平衡点类型的全局阈值条件。
　　 本文的结论对于判定疾病的消失或流行及在流行情况下疾病的控制有理论指导意义。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 传染病传播模型的研究背景

1．2 传染病传播模型的研究现状及意义

1．2．1 传染病传播模型的研究现状

1．2．2 传染病动力学模型的研究意义

1．3 本文的主要工作及章节安排

第二章 传染病传播模型研究的基本原理

2．1 仓室系统理论

2．1．1 仓室系统的定义

2．1．2 常系数线性仓室系统

2．1．3 自治非线性仓室系统

2．2 协调系统理论

2．3 非负矩阵及性质和非负不可约矩阵及性质

2．3．1 非负矩阵及性质

2．3．2 非负不可约矩阵及性质

2．4 Drisseche的阈值理论

2．5 相关理论的应用例子：一类SIRS模型

2．5．1 SIRS模型

2．5．2 系统的全局渐近稳定性

2．5．3 平衡点类型的判定

2．5．4 数值仿真

2．6 本章小结

第三章 非定常人口传染病传播模型的系统分析方法

3．1 一类具有非定常人口的传染病传播网络模型

3．1．1 单个SIRS模型

3．1．2 输入—输出模型

3．1．3 具有交叉感染和重复感染条件的网络模型

3．1．4 加入控制机制的网络模型

3．2 主要结论

3．2．1 病患动态系统的收敛性

3．2．2 无病平衡点或流行病平衡点的判定

3．2．3 康复率的影响

3．3 数值仿真

3．4 本章小结

第四章 具有非线性发生率和非定常人口的传染病网络模型的全局阈值条件

4．1 具有非线性发生率的非定常人口传染病传播网络模型

4．2 主要结论

4．2．1 病患动态系统的收敛性

4．2．2 无病平衡点稳定和流行病平衡点稳定的阈值条件

4．3 数值仿真

4．4 本章小结

第五章 种群在迁移过程中存在路途感染的SIS模型的全局阈值条件

5．1 模型

5．2 主要结论

5．2．1 病患动态系统的全局渐近稳定性

5．2．2 无病平衡点稳定或流行病平衡点稳定的阈值条件

5．2．3 模型中各因素对疾病流行程度的影响

5．3 小结

第六章 总结与展望

6．1 本文总结

6．2 展望

参考文献

致谢

攻读学位期间主要的研究成果