奇异摄动问题自适应移动网格迭代算法研究

摘要

对于奇异摄动两点边值问题,用通常的数值方法在均匀网格上求得的解是不理想的.为了能得到所求解问题稳定可靠的数值解,近年来,构建自适应非均匀网格的移动网格方法引起了国内外学者的广泛兴趣,并将其用于计算流体力学、半导体理论和材料科学等领域.本文的主要工作就是采用弧长控制函数,运用网格等分布原理,研究求解奇异摄动问题(Ⅰ)(Ⅱ)的移动网格迭代算法,并对其进行收敛性分析和数值实验.本文分为两部分.第一部分,我们针对所研究的问题(Ⅰ),给出了一种全离散格式.它是一个非线性代数问题,求解工作量大且难以判定方法的收敛性.于是我们构造了自适应移动网格迭代算法;该算法通过适当选取控制函数,采用相应的网格等分布技术,生成了适合边界层的自适应非一致网格,并求得问题的近似解.而且我们利用[7]中的结果对算法的误差进行了分析,得出了一致收敛的结论,并用大量数值实验加以验证.由于工程上对数值解的高精度需求,我们也迫切需要寻求高精度方法.我们给出了误差校正方法和Richardson外推方法,他们都是几乎二阶一致收敛的,大大降低了近似解的误差.遗憾的是我们还未对二阶方法作收敛性分析,只是提供了一些数值结果.第二部分,我们用一种不同于[7]中的方法,给出了求解问题(Ⅱ)的自适应移动网格迭代算法的收敛性分析.我们先导出微分算子的稳定性,然后得出任意网格上的后验误差估计,再利用离散格林函数理论证明了当离散算子为标准迎风格式时算法求得的数值解是关于摄动参数ε一致一阶收敛的.文章最后,作者总结了本文的工作并对求解奇异摄动问题的自适应移动网格方法提出了展望.

目录

摘要

第一章引言

第二章问题(Ⅰ)的自适应移动网格迭代算法及其高精度方法

第一节全离散差分格式

第二节迎风算子移动网格迭代算法

第三节收敛性分析

第四节数值试验

第五节高精度方法及其数值实现

第三章问题(Ⅱ)的自适应移动网格迭代算法收敛性分析

第一节微分算子的稳定性

第二节任意网格上的后验误差估计

第三节收敛性分析

总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间已发表和完成的论文

致谢