移动网格方法和层适应网格在几类奇异摄动问题上的应用

摘要

奇异摄动问题产生于流体力学、弹性力学、声学、光学、化学反应、最优控制等领域。这类问题的特点是在讨论的微分方程中含有摄动参数，这种参数可以是反映一定的物理性质而自然出现，也可以人为的引进。这类问题的解在求解区域的局部变化非常剧烈，移动网格方法和层适应网格是求解这类问题的有效方法。近些年来，国内外的许多学者对其进行了探讨和研究，并取得了许多重要的结果。
　　 本文在一些已有文献的基础上，研究了移动网格方法和层适应网格在几类奇异摄动问题上的应用。引言部分介绍了奇异摄动问题的应用背景，以及移动网格方法和层适应网格求解此类问题的研究现状，并简要地介绍了本文的主要工作。
　　 正文分为三部分，第一部分，对于一类奇异摄动问题，我们构造了移动网格下的差分格式，并引入Richardson 外推，证明了差分格式所求出的数值解收敛阶高于一阶。我们对已有算法进行了改进，得到了两种算法，并通过数值实验对两种算法的精度、程序运行速度等方面进行了比较。在传统的算法中，移动网格一般选取均匀剖分作为初始网格，而我们将初始网格改进为适应于模型问题的B-S 网格，并通过数值实验对算法中选取两种不同的初始网格所需的程序运行时间和求得的数值解精度进行了比较，证明了初始网格为B-S 网格时程序运行时间和精度方面都优于初始网格为均匀剖分的情况。
　　 第二部分，对一类含源项非定常奇异摄动对流扩散问题，我们构造了移动网格下的Crank-Nicolson 差分格式，介绍了移动网格的网格迭代方法和算法，并通过数值实验实现了算法，将求解的误差与均匀网格下求解的误差相比较，证明了在移动网格下运用Crank-Nicolson 差分格式求解这类奇异摄动问题能有效的克服数值振荡，得到较好的结果。
　　 第三部分，我们构造了一类椭圆型奇异摄动问题的差分格式，利用该问题的解的一种分解形式，对解的每部分分区域在适合该问题的B-S 网格上进行分析，利用比较定理等证明了满足差分格式的数值解一致一阶收敛于真解，并通过数值实验验证了理论的正确性以及方法的可行性。