奇异摄动问题标准迎风格式自适应网格收敛性分析

摘要

自适应网格方法已成为求解奇异摄动问题一种重要的数值计算方法，特别是对于具有边界层和内层的奇异摄动问题，更能显不它的优势。本文针对一般的非齐次非守恒奇异摄动两点边值问题采用标准迎风差分格式进行离散，选择了两类不同的控制函数，根据等分布原理生成网格，在这两种自适应网格上分别进行收敛性分析。
　　 本文分为两部分。第一部分，对所要研究的方程采用标准迎风差分格式进行离散，选取M(χ)=√1+ε-1e-β/ε)2作为控制函数，等分该控制函数生成网格，利用截断误差和离散Green’s函数，证明了在此网格上迎风差分格式的解具有o(N－1 lnN)的一致收敛精度。第二部分，也采用标准迎风差分格式，进行离散，选取真解的二阶导数估计的某个幂形式加上一个常数，即M(χ)=ε+∣ ε－2e－βχ∣1/m(其中m≥2)作为控制函数。特别地，我们讨论了如何选取该常数，使得网格节点在边界层内外两个子区域上达到一个等分布，来确保所得到的结果ε一致收敛，并重点分析了在这种网格上的收敛性，最后证明了该数值方法能得到更高的一致收敛结果，即一阶精度o(N_1)。在以上两个部分的收敛性分析中，都用到了解的分解，即将真解和数值解都分解为光滑部分和奇异部分，对这两部分解分别进行估计。