自适应网格求解奇异摄动问题的多尺度有限元方法

摘要

在科学计算中经常遇到带有小参数的微分方程，称之为“奇异摄动问题”。它的解在局部范围内变化非常剧烈，导致其在均匀网格上的数值解精度偏低。而自适应网格是在不改变网格总节点数的情况下，把网格节点更多的放在解变化剧烈的区域，从而使问题的数值解在精度方面得到很大的提升。
　　本论文主要研究奇异摄动问题在一维空间的自适应网格方法，并结合有限元和多尺度有限元方法来得到更好的数值解。
　　目前解决奇异摄动问题的数值算法主要分为两种，一种是算子适应法，另一种就是网格适应法。本篇论文的主要内容就是采用网格适应法来解决奇异摄动问题。我们介绍了几种常见的特殊网格，并给出了网格节点的定义，对几种不同的奇异摄动方程分别在Uniform网格、Shishkin网格、Graded网格、Bakhvalov网格进行数值计算。通过对数值结果的分析，发现对于不同方程来说，却有相似的结果:在一致网格上一般得不到的满意的数值解，但是在自适应网格上就能得到更好的数值解，能更好的逼近边界层。说明自适应网格结合多尺度有限元的方法在解决奇异摄动问题确实有比较好的效果，我们可以将此方法推广到更为一般、复杂的奇异摄动问题。文章通过对几种方程的实际运算，列出了大量的图片和表格，我们可以很直观的看出数值解与真解的逼近情况，并给出了相应的数值结果和收敛阶。多尺度有限元方法比传统有限元更节约存储空间，在较粗的网格上多尺度有限元法有时比传统有限元法能得到更精确的数值解，说明多尺度有限元在进行大规模的数值计算时更有优势，更能适应现在的大数据时代。论文中还考虑了没有真解的变系数奇异摄动方程，当方程没有真解时，可以取在一致网格细剖分数为2048上的有限元解当作真解，然后用数值解与这个真解进行比较。验证了我们数值方法仍然适用，并给出相关图表，用事实说明这种方法的科学性。
　　本论文的最后一章节考虑了依赖于时间的非定常对流扩散的一维方程，提出了相关的处理方法和思路，并作出了合理的猜想。不过目前没有开展具体的数值验证，希望在今后的学习工作中，进行更深入细致的研究。

目录

摘要

第1章 预备知识

1．1 奇异摄动问题

1．2 自适应网格

1．3 多尺度问题及多尺度有限元方法

第2章 反应扩散方程的多尺度有限元方法

2．1 研究的问题

2．2 变分形式及多尺度有限元法

2．3 数值实验和分析

第3章 对流扩散方程多尺度有限元方法

3．1 研究的问题

3．2 考虑的具体对流扩散方程

第4章 变系数对流扩散问题多尺度有限元方法

4．1 一维变系数扩散方程模型

4．2 考虑的具体变系数方程

第5章 与时间有关的非定常对流扩散问题的多尺度有限元方案

5．1 研究的问题

5．2 多尺度有限元方法的处理方案

结论

致谢

参考文献

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