一种求解椭圆型微分方程的渐近展开方法及其在辐射热传导方程中的应用

摘要

在数学物理中，我们经常遇到一些具有跳系数(或多尺度性质)的椭圆型PDEs问题，而渐近展开方法是解决这类问题的一种强有效的方法，其基本思想是将具有多尺度性质的PDEs模型问题解耦为若干光滑系数(或单尺度性质)的PDEs问题进行求解．本文在已有的渐近展开方法的理论基础上作了比较深入系统的研究，并且还将其应用到二维辐射热传导模型上．
　　 我们首先针对一类跳系数椭圆标量方程的一般边值条件问题，根据界面线Γ的不同情形，设计了一种基于渐近展开方法的有限元算法，利用有限元基本理论，证明了用渐近展开方法所得的数值解与真解在||·||0意义下和有限元方法是同阶的，相关数值实验结果在验证了理论分析正确性的同时，还表明新方法优于传统的有限元方法．其次，针对二维线性辐射热传导方程组，设计并分析了基于渐近展开方法的线性有限元算法．同时，我们还针对一种具有实际应用背景的非线性单温模型问题，给出了相应的数值实验结果，表明了新算法的有效性．