奇异摄动初值问题的稳定性分析和数值分析

摘要

奇异摄动初值问题出现于很多的实际应用中,如控制系统、化学反应理论、流体力学、燃烧、生物、医学、经济等.它们可被看作为一类特殊的刚性问题.由于这类问题的经典Lipschitz常数及单边Lipschitz常数具有p(E-1)(0　　第一章简要介绍了奇异摄动初值问题的特点、解的渐近展开方法、奇异摄动初值问题数值方法的收敛性、稳定性及问题本身稳定性的研究现状,
　　第二章研究了奇异摄动初值问题并行多步混合方法的误差分析,并行多步混合方法的优点是可以用两个处理器并行实现该算法,并且在相同的积分步长下和同阶的BDF方法在每个积分步几乎具有相同的计算速度,但是,并行多步混合方法比BDF方法具有更好的稳定性,我们主要利用矩阵值形式的Neurmann定理并构造离散预解式的系数,获得了相应的整体误差估计结果.同时,将这一研究结果推广到双参数奇异摄动初值问题,
　　第三章研究了时滞奇异摄动初值问题并行两步W-方法的误差分析.该方法的优点是具有良好的并行性,计算量仅与BDF方法相当,前者具有更好的稳定性,可达到更高的阶,主要采用矩阵形式进行讨论,利用矩阵的Krocnecker积,时滞部分采用Lagrange插值进行处理,同时,我们还研究了分裂并行两步W-方法的收敛性.
　　第四章研究了奇异摄动初值问题变分迭代方法的收敛性,变分迭代方法是近年来获得广泛研究与应用的一类近似解析求解方法,这类方法在求解问题时不需要对变量进行离散,不需要计算截断误差,因此,可以大量节省计算机时间和内存,并且该方法在较少的迭代步可获得较好的收敛结果,可获得解析解或近似解析解.
　　第五章研究了时滞奇异摄动控制系统的输入状态稳定性,奇异摄动问题的稳定性是一个很重要的研究领域.奇异摄动控制系统(主要是线性系统)的输入状态稳定性的研究较多,这些研究主要基于Lyapunov函数,而时滞奇异摄动控制系统的输入状态稳定性的研究还未见到.主要利用Lyapunov方程并构造了针对该问题的广义Halanay不等式,给出了输入状态稳定的充分条件.
　　最后,对论文所做的主要工作进行总结,并指出今后进一步的工作展望。

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第一章绪论

第二章奇异摄动问题并行多步混合方法的误差分析

第三章并行两步W－方法关于时滞奇异摄动初值问题的误差分析

第四章求解奇异摄动初值问题的变分迭代方法

第五章时滞奇异摄动控制系统的输入状态稳定性

总结与展望

参考文献

致谢

附录