高阶线性微分方程非局部多点边值问题的配置方法

摘要

本文主要研究的是n阶非局部多点边值问题的数值求解方法。主要思想是首先将求解常微分方程转换成求解第二类Volterra积分方程,然后选取了一种高效的配置方法对第二类Volterra积分方程进行数值求解。对于非局部多点边值条件,构造了与多点边值条件相对应的节点基函数:就是满足在该节点处的函数值或对应阶导数值为1,在其他节点处的函数值或导函数值为0的n-1次多项式。再利用线性微分方程解的叠加原理,将非局部多点边值问题的解分解成n+1个基本解的线性组合。在此基础上给出了两种拟合方法:间接配置方法和直接配置方法。其中间接配置方法就是先对基本解分别用配置点方法来求解,再利用非局部多点边值条件来线性组合。直接配置点方法就是将对方程解的配置点法与拟合方程解的非局部多点边值条件两个步骤合二为一,进行联合求解。该配置方法不仅给出了函数及其导函数的高精度数值解,还给出了函数及其导函数的数值公式。并获得了方程的解及其任意阶导函数具有m+1阶的收敛结果(m为单元格内的配置点的个数)。初值问题和非局部多点边值问题的数值试验结果证实了配置方法的有效性。

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第一章 引 言

S1.1 研究背景

S1.2 文章结构安排

第二章 预备知识

S2.1 一些特殊多项式

S2.2 积分方程类别及性质

S2.3 一个特殊的积分算子

S2.4 Lagrange 插值多项式及性质

S2.5 配置法的相关内容

第三章 第二类 Volterra 积分方程的配置法和n阶常微分

S3.1 第二类 Volterra 积分方程的配置法及收敛性

S3.2 第二类 volterra 积分方程的数值实验

S3.3 n阶常微分方程初值问题的配置法

S3.4 n阶常微分方程初值问题的数值试验

第四章 特殊的多点边值问题的配置点方法

S4.1 非局部多点边值条件齐次化

S4.2 与原方程等价的积分方程及若干性质

S4.3 特殊的多点边值问题近似解????(??)的配置法及????的近似解??????

S4.4 特殊边值问题的 ?? 阶导函数??(??)(??)的近似解????????(??)的配置方法

S4.5 特殊多点边值问题的数值试验

第五章 一般的多点边值问题的配置方法

S5.1 非局部多点边值条件齐次化

S5.2 与原方程等价的积分方程

S5.3 一般的多点边值问题??(??)近似解????(??)的配置法及????的近似解??????

S5.4 一般多点边值问题的??阶导数??(??)(??)的近似解????????(??)的配置法

S5.5 数值试验

总结与展望

参考文献

致谢