基于分数布朗运动构建递归网络的拓扑性质和分形分析

摘要

最近，复杂网络吸引了来自各个领域研究者的大量关注。许多研究已经表明可以从复杂网络这个崭新的角度去更深入而有效地研究时间序列。为此，研究者们也先后相继提出了很多将时间序列转化为复杂网络的方法。
　　在本文中，从分数布朗运动时间序列构建了递归网络，然后数值研究了递归网络的基本拓扑性质、分形维数和重分形性质。首先研究了从分数布朗运动时间序列所构建递归网络的基本拓扑性质。数值结果表明递归网络的度分布服从指数度分布形式，递归网络的平均度分布指数〈λ〉随着相应时间序列的Hurst指数H增加而先增加后减小，并且可以用一个三次多项式函数来很好地拟合它们之间的依赖关系。网络的平均聚集系数〈C〉随着Hurst指数H的增加而逐渐增加。在微观层面，研究了网络的模体分布，从而可以进一步在局部结构层面上更深入地理解网络的动力学机制。观察到了有趣的超家族现象，发现带有相同模体排序模式的网络被分为两个超家族。其次，数值计算了递归网络的分形维数。发现递归网络的平均分形维数〈dB〉随着相应分数布朗运动时间序列的Hurst指数H的增加而减少，并且他们之间的依赖关系近似为〈dB〉≈2H。这表明复杂网络的分形维数非常接近其相应的分数布朗运动时间序列看成函数时所对应图的分维数。另外，探究了网络的重分形性质。数值结果表明从分数布朗运动时间序列构建的递归网络具有重分形性质，并且这些递归网络的重分形性质随着Hurst指数H的增加先增强后减弱。特别地，Hurst指数H=0.5构建的递归网络具有最强的重分形性质。同时，发现平均信息维数〈D1〉和平均关联维数〈D2〉随Hurst指数H的增加而大致趋于减小，并且它们与Hurst指数H之间有很强的线性依赖关系。所有结果都进一步表明递归网络继承了相应分数布朗运动时间序列的基本拓扑特征和分形特性。
　　在本文的最后部分，将复杂网络的重分形分析应用于蛋白质分子动力学并且发现所考虑的这些蛋白质具有重分形性质。

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第一章 绪论

§1.1 研究背景及现状

§1.2 选题依据和意义

§1.3 文章主体结构

第二章 递归网络的构建

§2.1 相空间重构

§2.2 递归矩阵和邻接矩阵

§2.3 递归网络

第三章 网络的基本拓扑性质

§3.1 度分布

§3.2 聚集系数

§3.3 模体分布

第四章 分形维数

§4.1 算法描述

§4.2 结果与讨论

第五章 重分形分析

§5.1 算法描述

§5.2 结果与讨论

第六章 复杂网络的重分形分析在蛋白质分子动力学中的应用

§6.1 可视网络的构建

§6.2 可视网络的重分形分析结果

第七章 结论与展望

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间已公开发表或已投的论文