含弱奇核的粘弹性模型及其应用

摘要

本文在含有弱奇性的函数的基础构造了一系列含有弱奇核的粘弹性模型。经典模型理论具有本构方程直接明了形式简单、物理概念清晰等的优点，我们可以利用一大批含有弱奇性的函数，比如使用基于Mittag-Leffler函数的一系列特殊函数去代替为研究者所熟知的经典模型中的牛顿粘壶，得到含弱奇核的粘弹性模型，进而求得本构方程的松弛模量和蠕变柔量。含弱奇核的粘弹性模型能克服经典模型在材料松弛和蠕变的初期不能很好地与实验数据拟合的缺点。
　　本研究主要内容包括：⑴分数阶导数具有诸如Riemann-Liouville、Grunwald-Letnikov、Weyl、Caputo等类型的定义，且每一种不同的定义都有其相应的表达式与性质，我们讨论了人们最经常使用的Riemann-Liouville定义以及Caputo定义两种分数阶导数定义，在此基础上又阐述了分数阶导数的拉普拉斯变换及其逆变换的原理。给出了Mittag-Leffler函数的定义以及广义Mittag-Leffler函数的拉普拉斯变换和基于Mittag-Leffler函数的特殊函数。给出了传统粘弹性材料的几种常见的描述手段：元件模型、松弛模量和蠕变柔量以及描述其动态特性的复松弛模量和复蠕变柔量。使用含有弱奇性核函数代替经典模型中的牛顿粘壶，得到了含Abel核、Nel核、Mel核的标准线性体模型，进而求得其松弛模量与蠕变柔量。分别对高分子聚合物材料聚碳酸酯以及聚甲醛进行两组应变水平（0.0444和0.0556）下的单轴拉伸应力松弛实验，分别使用含Abel核、Nel核、Mel核的标准线性体模型与试验数据进行拟合分析。分析表明：含弱奇核的粘弹性模型与试验数据的拟合相比于经典的标准线性体具有更高的精度（拟合相关系数大大地提升），且能克服经典模型在应力松弛的初期与试验不能很好吻合的缺点。⑶使用Abel核代替经典西原模型中的牛顿粘壶，得到含弱奇核的盐岩蠕变模型。在与试验数据的拟合中发现含弱奇核的本构模型相关系数比西原模型相关系数高，说明它能够将盐岩蠕变发展更好地反映出来。在参数敏感性分析中发现：分数阶导数不同的求导阶数，对含弱奇核的蠕变本构方程中蠕变产生的应变和蠕变速率产生较大的影响。应力越大则蠕变模型的应变也越大。⑷仿照分数阶粘弹性元件模型构造了粘弹性材料的分数阶泊松比基本元件模型、分数阶泊松比Maxwell模型、分数阶泊松比Kelvin模型和分数阶泊松比标准线性体模型。在与材料松弛试验和蠕变试验数据的的拟合分析中发现，含弱奇核的粘弹性泊松比模型与试验数据的拟合相关系数高，且能够很好地描述泊松比变化的规律。

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第1章 绪 论

第2章 基本理论

2.1分数阶导数的定义

2.2 分数阶导数的拉普拉斯变换

2.3 Mittag-Leffler函数

2.4 常见的弱奇性核函数[24]

第3章 粘弹性与流变材料本构模型

3.1 引言

3.2 元件模型

3.3 松弛模量、蠕变柔量、复松弛模量和复蠕变柔量

3.4 分数阶粘弹性模型中的复松弛模量和复蠕变柔量

3.5 粘弹性体的分数阶力学模型

3.6本章小结

第4章 含弱奇核的粘弹性模型在高分子聚合物应力松弛过程中的应用

4.1 高分子聚合物材料的单轴拉伸应力松弛试验条件

4.2 高分子聚合物材料的单轴拉伸应力松弛试验

4.3 各种模型与实验数据的拟合

4.4 本章小结

第5章 含弱奇核的盐岩蠕变模型

5.1 盐岩的蠕变模型

5.2 盐岩的蠕变模型与实验数据的拟合分析

5.3 含弱奇核的蠕变模型与西原模型关联性分析

5.4 本章小结

第6章 含弱奇核的粘弹性泊松比模型

6.1 引言

6.2 含弱奇核的粘弹性泊松比模型

6.3 三种分数阶泊松比模型曲线的对比

6.4 分数阶泊松比标准线性体模型与试验数据的拟合

6.5 本章小结

总结

全文总结

进一步的展望

参考文献

致谢

附录A: 攻读硕士期间公开发表的论文