两类磁流体动力学方程组的数值方法研究

摘要

本文的主要目的是研究求解两类磁流体动力学方程组的数值方法。第一类是磁气体动力学方程组；第二类是非理想等熵可压缩流横向磁场动力学方程组。这两类方程组在天体物理，能源科学和等离子物理有着广泛的应用。本文的工作主要包括以下几个方面：
　　1.对于这两类磁流体动力学方程组，分别实现Roe、HLLC格式解一维两类方程组。对于磁气体动力学方程组，根据Roe矩阵满足的三个条件，构造了对绝热系数没有任何特殊要求的Roe矩阵，并且当其退化为欧拉方程时，得到了欧拉方程新的Roe平均。对于非理想等熵可压缩流横向磁场动力学方程组，采取两种不同的方式构造Roe矩阵，一种基于文献的思想，另外一种基于直接法，两种方法得到的Roe矩阵相同。对于HLLC格式，根据构造气体动力学方程组H LLC格式的思想和两类方程本身的特点，构造了两类方程组的HLLC格式。然后对比了几种格式，并对数值结果进行对比分析，验证了格式的有效性。
　　2.基于一类迎风型预估校正TVD格式，构造了一类对称型预估校正TVD格式，同时对这类格式进行理论分析，并且将它和迎风型预估校正TVD格式以及两步分量型TVD格式进行对比，发现该格式具有更好的激波捕捉效果。
　　3.实现了基于几类限制器的RKDG方法，对于文中所考虑的问题认真分析了各类限制器的优缺点，发现使用限制子SlopeLimitN具有更好的激波捕捉效果，这为我们选择限制器提供了帮助。
　　4.基于牛顿插值多项式构造了一类新的W ENO-NIP型格式。对于这类格式，从Li和L2意义上分别得到WENO-NIP-L1格式和WENO-NIP-L2格式，并且将他们和经典的WENO-JS格式和WENO-Z格式进行对比，WENO-NIP-L1格式具有最好的激波捕捉效果，W ENO-NIP-L2格式至少有和WENO-Z—样的激波捕捉能力，并且W ENO-NIP型格式的模板光滑因子形式更加简洁，计算高阶光滑因子的工作量更少。

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第 一 章 绪 论

§1 .1 磁流体动力学方程组的研究背景

§1.2 国内外研究现状

§1.3 两类磁流体动力学方程组的基本理论

§1 .4 文章结构安排

第二章两类方程组的Roe格式和HLLC格式的实现

§2.1 一维磁气体动力学方程组

§2.2 一维非理想等熵可压缩流横向磁场动力学方程组

§2 .3 数值实验

第三章对称型预估校正TVD格式

§3 .1 标量双曲方程对称型预估校正TVD格式实现及其理论分析

§3.2 双曲守恒律的对称型预估校正TVD格式

§3.3 二维磁气体动力学方程组的对称型预估校正TVD格式

§ 3 .4 数值实验

第四章 RKDG方法

§4.1 限制器

§4 .2 数值结果

第五章双曲型方程组的一种新的MENO-NIP格式

§5.1 WENO-NIP-L1格式

§5.2 WENO-NIP-L2格式

§5.3 精度测试

§5.4 一维算例

§5.5 二维算例

第六章总结与展望

§6.1 工作总结

§6.2 工作展望

参考文献

致谢